Модуль непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Для любой функции, определённой на множестве E, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого $ω f (δ)$ . Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная:

$sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in E)\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\}$ ,

или верхнюю грань колебаний функции по всем подотрезкам из E длиной меньше δ.

[править] Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

1. При любом δ она неотрицательна (очевидно);

2. Функция не убывает (также очевидно);

3. Функция полуаддитивна: $\omega_{f}(\delta_{1}+\delta_{2})\geq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2})$ .

Докажем:

$\forall x_{1}, x_{2} \in E (|x_{1}-x_{2}|\leq\delta_{1}+\delta_{2})\Rightarrow(\exists x':(|x'-x_{1}|\leq\delta_{1})\and(|x_{2}-x'|\leq\delta_{2})$ .

Тогда:

|f(x₁)-f(x₂)| = |f(x₁)-f(x')+f(x')-f(x₂)| $\leq$ |f(x₁)-f(x')|+|f(x')-f(x₂)| $\leq\omega_{f}(\delta_{1})+\omega_{f}(\delta_{2})$ , ч. т. д.

4. В точке 0 доопределим модуль непрерывности: $ω f (0) = 0(d e f)$ .

5. Если функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, то $\lim_{\delta\rightarrow 0+}{\omega_{f}(\delta)}=0$ (данный предел обозначается также $ω f ( + 0)$ ), и наоборот.

Пусть $ω f ( + 0)$ =0; мы знаем, что функция неотрицательна, а значит,

$(\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon)\Rightarrow|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

при любых x₁ и x₂ из [a, b] таких, что расстояние между ними меньше δ. Если мы зафиксируем x₁, а x₂ будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности x₁, мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке x₁, а поскольку вместо x₁ мы можем взять любую точку отрезка, получим, что f(x) непрерывна на нём.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора-Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x_{1}, x_{2} \in [a,b](|x_{1}-x_{2}|<\delta)\Rightarrow(|f(x_{1})-f(x_{2})|<\frac{\varepsilon}{2})$ .

Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,

$\omega_{f}(\delta)=sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|:(x_{1}, x_{2}\in [a,b])\and|x_{1}-x_{2}|<\delta\}$ .

Но, как мы только что показали, :|f(x₁)-f(x₂)|< $\frac{\varepsilon}{2}$ , а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна $\frac{\varepsilon}{2}$ и уж точно меньше $\varepsilon$ . Но, поскольку $ω f (δ)$ не убывает, при 0<δ'<δ получим неравенство

$\omega_{f}(0)=0\leq\omega_{f}(\delta')\leq\omega_{f}(\delta)<\varepsilon$ , или $\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:(\delta'\in\dot{U}_{\delta}^{+}(0))\Rightarrow(\omega_{f}(\delta')\in U_{\varepsilon}(0))$ ,

что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.

6. Если f(x) непрерывна на [a, b], то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [0, b-a].

Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству $ω f (δ)$ непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число h и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство: $0\leq\omega_{f}(\delta+h)-\omega_{f}(\delta)\leq\omega_{f}(h)$ . При устремлении h к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по 'теореме о двух милиционерах', и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках [a, b]. Теперь, подставив в неравенство δ₁=δ-h, таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность $ω f (δ)$ на всём отрезке.

[править] Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$ .

$\omega_{f}(\delta) = sup\{|\Delta^1_h(f,x)|:(x \in E) \and |h|<\delta\}.$ .

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$ , то получим определение модуля непрерывности порядка $n$ .

[править] Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берется этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берется разностный оператор также зависить от точки. Подобные "неклассические" модули непрерывности находят свое применение в различных областях современной математики.

[править] Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

принадлежность классам Липшица и Гёльдера
гладкость
дифференцируемость
возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона-Стечкина)

и многих других.

Категории: Математический анализ | Функции | Теория приближений

Модуль непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства модуля непрерывности

[править] Модули непрерывности высших порядков

[править] Неклассические модули непрерывности

[править] Связанные понятия

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках