อนุพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

อนุพันธ์ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น

ข้อมูลเกี่ยวกับ อนุพันธ์ ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ

[แก้] การหาอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้

[แก้] อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชัน (slope) ของเส้นสัมผัส (tangent line) ของกราฟ f ที่ x. เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f(x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลายๆเส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสที่ (x, f(x))

เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f(x) กำนหดโดยจุด (x, f(x)) และ (x+h, f(x+h))

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อยๆใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f(x)) และ (x+h,f(x+h)) คือ

${f(x+h)-f(x)\over h}$

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient). อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมากๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

[แก้] สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์

[แก้] จุดวิกฤต

[แก้] อนุพันธ์ที่น่าจดจำ

สำหรับกรณีทั่วไป:
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,C=0$
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n = nx^{n-1}$ .
สำหรับฟังก์ชันลอการิทึม:
- อนุพันธ์ของ ln $x$ คือ $\frac{1}{x}$ .
- อนุพันธ์ของ $\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$
สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ e^x $= e x$
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x \ln a$
สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$ .
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x = -\sin x$ .
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \sec^2 x$ .
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x\cot x$ .
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x$ .
- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2 x$ .