Derivata

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In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Un modo semplice di capire cos'è la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione $f$ in un punto $x 0$ è la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cioè la tangente dell'angolo fra la retta tangente e l'asse orizzontale) della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto $(x 0, f (x 0))$ .

Nel caso di funzioni di una sola variabile, continue e derivabili in tutto il loro dominio, o almeno in un intervallo di questo, si ricava con operazioni algebriche una nuova funzione che ne rappresenta la derivata al variare di x: nel linguaggio comune è a questa che ci si riferisce quando si parla genericamente di derivata di una funzione, perché è unica a parte il segno, che dipende dalla direzione che viene considerata durante la derivazione (in avanti o all'indietro).

Nel caso di funzioni di più variabili indipendenti questa unicità si perde, perché le direzioni in cui è possibile calcolare il rapporto incrementale non sono più due soltanto ma infinite: non è più possibile definire una singola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto di tutti i possibili rapporti incrementali della funzione. Si ricorre allora a delle derivate parziali della funzione, che combinate linearmente permettono di ricavare il rapporto incrementale della funzione per ogni direzione considerata.

[modifica] Definizione e notazioni

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Più precisamente, una data funzione $f (x)$ definita in un intorno di x₀ si dice derivabile nel punto x₀ se esiste ed è finito il limite:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}$

e il valore di questo limite, indicato normalmente con f' (x₀), prende il nome di derivata della funzione nel punto x₀. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.

La derivata nel punto x₀ viene indicata con uno dei seguenti simboli:

$f ^{\prime} (x_0),$ secondo la notazione di Lagrange.

$\operatorname D [{f}({x_0})],$ secondo la notazione di Cauchy.

$\frac {\operatorname d f(x_0)}{\operatorname d x},$ secondo la notazione di Leibniz: la prima che compare storicamente è $(\frac {\operatorname d f}{\operatorname d x})_{(x_0)},$ ancora oggi usata in fisica.

$\dot f(x_0),$ secondo la notazione di Newton.

[modifica] Derivata destra e derivata sinistra

Si chiama derivata destra di f in x₀ il:

$\lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Si chiama derivata sinistra di f in x₀ il:

$\lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Una funzione è derivabile in x₀ se e solo se esistono le derivate sinistra e destra, e coincidono.

Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell'intervallo chiuso [a, b], si dice che f è derivabile in [a, b] se è derivabile in ogni punto interno x in (a, b) e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x=a e x=b.

[modifica] Significato geometrico della derivata

La retta in rosso è la tangente alla funzione f(x) nel punto x0

La retta in rosso è la tangente alla funzione f(x) nel punto x₀

Il valore della derivata di $f (x)$ calcolata in $x 0$ ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva che rappresenta il grafico di $f (x)$ , nel punto di coordinate $(x 0, f (x 0))$ .

In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la retta tangente a una curva in un suo punto forma con l'asse delle ascisse.

L'equazione della retta tangente in $x 0$ risulta:

$y = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0).$

Più precisamente, se $f (x)$ è derivabile nel punto $x 0$ , allora esiste una funzione $o (x - x 0)$ definita in un intorno di $x 0$ tale che:

$f (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0) + o (x - x 0)$

con

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 .$

Si dice che $o (x - x 0)$ è un infinitesimo di ordine superiore alla funzione $x - x 0$ . Con questo si vuole esprimere l'idea che il termine $o (x - x 0)$ dà un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a $x 0$ .

Dimostrazione

definiamo $o (x - x 0)$ con lo stesso dominio di f, come:

o (x - x 0) = f (x) - f (x 0) - f'(x 0)(x - x 0)

e verifichiamo che:

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\right) (1)$

ricordiamo che per : $x \to x_0$ allora : $x-x_0 \to 0$ quindi : $h = x - x 0$

Sostituendo questa ultima uguaglianza con la (1) si ha:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - f'(x_0) = 0$

confermando la tesi.

[modifica] Teorema di continuità

Il teorema asserisce che se $f (x)$ è derivabile in x₀ allora $f (x)$ è anche continua in x₀.

Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad esempio, la funzione $f (x) = | x |$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra.

Dimostrazione del Teorema

La dimostrazione si effettua riprendendo l'uguaglianza precedente:

f (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0) + o (x - x 0)

da cui:

$\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}{f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0).$

Quindi la funzione è continua in x₀.

[modifica] Funzioni non derivabili

Una funzione continua può essere non derivabile. Tra i fenomeni che possono causare la non derivabilità di una funzione continua, ci sono i seguenti:

Punto angoloso
cuspide
Flesso a tangente verticale

Ci sono anche funzioni continue non derivabili che presentano forme più complesse, come ad esempio la funzione di Cantor.

[modifica] Derivata n-esima

La derivata n-esima f⁽ⁿ⁾ di una funzione f è la funzione che si ottiene derivando successivamente n volte la funzione f. Si parla quindi di derivata seconda, terza, etc... e si usano generalmente una delle seguenti notazioni:

$f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}$ ,

$f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}$ ,

...

$f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}$ .

Una funzione derivabile non è però necessariamente derivabile n volte: ad esempio, la seguente funzione ha una derivata prima, ma non una seconda.

f (x) = x | x |

Infatti la derivata di f è f' (x) = 2 |x|, che non è a sua volta derivabile.

[modifica] Regole di derivazione

Per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale si usano le cosiddette derivate fondamentali: derivate di funzioni semplici e di frequente uso da combinare tramite apposite regole di derivazione per ottenere semplicemente le derivate di funzioni di complessità più alta.

Somma: ${\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}$

Dimostrazione

L'ipotesi afferma:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_o + h} \right) - f\left( x_o \right)} \over h}} = f'(x)$ e : ${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{g\left( {x_o + h} \right) - g\left( x_o \right)} \over h}} = g'(x)$

Il rapporto incrementale della funzione "somma" nel punto x si scrive:

${{(f+g)(x_0 + h) - (f+g)(x_0)}\over{h}} = { { f\left( { x_o + h } \right) - f\left( x_o \right) } \over h } + {{g\left( {x_o + h} \right) - g\left( x_o \right)} \over h}$

da cui passando al limite si ha in base all'ipotesi:

$\lim_{h \to 0 }{{(f+g)(x_0 + h) - (f+g)(x_0)}\over{h}} =$

$= \lim_{h \to 0 }{{f\left( {x_o + h} \right) - f\left( x_o \right)} \over h} + \lim_{h \to 0 }{{g\left( {x_o + h} \right) - g\left( x_o \right)} \over h} =$

$= f'(x_0) + g'(x_0)\,\!$

Prodotto (regola di Leibniz): ${\left( {f(x)g(x)} \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}$

Dimostrazione

Il rapporto incrementale della funzione prodotto (f * g)(x) nel punto x₀ è:

$\lim_{h \to 0 }{{(f*g)(x_0 + h) - (f*g)(x_0)}\over{h}} = \lim_{h \to 0 }{{f(x_0 + h)g(x_0+h) - f(x_0)g(x_0)}\over{h}}$

Allo scopo di scrivere tale rapporto incrementale in funzione dei rapporto incrementali di f e g sommiamo sottraiamo al numeratore $f (x 0 + h) g (x 0)$ . Otteniamo dunque:

${{(f*g)(x_0 + h) - (f*g)(x_0)}\over{h}} =$

$= {{f(x_0 + h)g(x_0+h) +f(x_0+h) g(x_0) - f(x_0+h) g(x_0) - f(x_0)g(x_0)}\over{h}} =$

$= g(x_0){{f(x_0 + h)-f(x_0)}\over{h}} + f(x_0+h){{g(x_0 + h)-g(x_0)}\over{h}}$

Passando al limite troviamo:

$\lim_{h \to 0 }{{(f*g)(x_0 + h) - (f*g)(x_0)}\over{h}} =$

$= \lim_{h \to 0 }\left[g(x_0){{f(x_0 + h)-f(x_0)}\over{h}} + f(x_0+h){{g(x_0 + h)-g(x_0)}\over{h}}\right]$

Ricordandosi le ipotesi della dimostrazione e del fatto che la f(x) essendo derivabile in x₀ in tale punto è anche continua si ottiene

$\lim_{h \to 0 }{{(f*g)(x_0 + h) - (f*g)(x_0)}\over{h}} =$

$= \lim_{h \to 0 }g(x_0){{f(x_0 + h)-f(x_0)}\over{h}} + \lim_{h \to 0 }f(x_0+h){{g(x_0 + h)-g(x_0)}\over{h}} =$

$= f'(x_0)g(x_0) + g'(x_0)f(x_0) \,\!$

Quoziente:
${D\left( {{f(x) \over g(x)}} \right) = {{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)} \over {g(x)^{\rm 2}}}}$
Funzione composta: ${D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}$
Funzione inversa:
${D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f'\left( x \right)}} = {{\rm 1} \over {f'\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right)}}}$

[modifica] Derivate fondamentali

${D\left( \textrm{costante} \right) = 0 }$
${D\left( {ax} \right) = a }$
${D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }$
${D\left( {x^2 } \right) = 2x }$

Dimostrazione

$\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^2 - x^2 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (2x + h) = 2x.$

$D\left( e^x \right) = e^x$
$D\left( a^x \right) = a^x \ln a$
$D\left( \ln x \right) = \frac 1 x$
$D\left( \sin x \right) = \cos x$
$D\left( \cos x \right) = - \sin x$
$D\left( \tan x \right) = D\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right) = 1 + \tan^2 x = \frac 1{\cos^2 x}$
$D\left( {\rm cotan\,} x \right) = D\left( \frac {\cos x}{\sin x} \right) = -\frac 1{\sin^2 x}$
$D\left( \arcsin x \right) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}$
$D\left( \arccos x \right) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}$
$D\left( \arctan x \right) = \frac 1 { 1 + x^2}$
$D\left( \sinh x \right) = \cosh x$
$D\left( \cosh x \right) = \sinh x$
$D\left( \tanh x \right) = \frac 1 {\cosh^2 x}$

[modifica] Derivate di funzioni composte

${D\left( {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] } \right) = {f'[{g\left( x \right)} ]{g'\left( x \right)}} }$
${D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}$
${D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 2}\sqrt {f\left( x \right)} }}} f'\left( x \right)$
${D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = {{f'\left( x \right)} \over {f\left( x \right)}}}$
${D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}$
${D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) = - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}$
${D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over {{\rm 1} + \left[ {f\left( x \right)} \right]^{\rm 2} }}}$
${{D\left( {f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } \right) = f\left( x \right)^{g\left( x \right)} \left\{ {g'\left( x \right){\rm ln}f\left( x \right) + g\left( x \right){{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right\}}}$

Dimostrazione

${f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } = {e^{ {\rm ln}{f\left( x \right)^{g\left( x \right)} }} } = {e^{g\left( x \right) {{\rm ln}f\left( x \right)}} }$ e dunque si deriva seguendo la regola di $D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right)$ e del prodotto

[modifica] Teoremi del valor medio

Vengono enunciati di seguito una serie di teoremi atti allo studio del valor medio.

[modifica] Teorema di Fermat

sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x₀
sia x₀ un punto interno al dominio della funzione f
sia x₀ un punto di massimo o di minimo della funzione f

allora la derivata della funzione in $x 0$ è nulla, cioè $f'(x 0) = 0$ .

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione si annulla.

[modifica] Osservazioni

è indispensabile che x₀ sia interno all'intervallo [a,b],
la funzione deve essere derivabile nel punto x₀, altrimenti il teorema non ha senso.

Ogni punto in cui la f'(x) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di $f'(x)$ .

Dimostrazione

[modifica] Dimostrazione

Per fissare le idee, supponiamo che x₀ sia un punto di massimo e quindi f(x₀) sia valore massimo della funzione in (a,b); la dimostrazione può essere ripetuta specularmente nel caso x₀ sia un punto di minimo per f.
Consideriamo il rapporto incrementale: $\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0}$ .
Il numeratore $f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b)$ perché, per ipotesi, x₀ è un punto di massimo e quindi $f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b)$ .
Diremo quindi che :

$\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \ge 0$ se x < x₀, poiché il numeratore è sempre negativo o nullo ed il denominatore è sempre negativo
$\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \le 0$ se x > x₀, poiché il numeratore è sempre negativo o nullo ed il denominatore è sempre positivo

Ne consegue che:

$f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \ge 0$
$f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \le 0$

Poiché, per ipotesi, la funzione f è derivabile in x₀, il limite del rapporto incrementale in x₀ deve esistere ed essere finito e, poiché deve essere contemporaneamente ≤0 e ≥0, allora deve essere nullo, come volevasi dimostrare.

[modifica] Teorema di Rolle

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Rolle.

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b) allora esiste un punto x₀ appartenente all'intervallo aperto (a,b) di f'(x) dove la derivata prima si annulla.

[modifica] Teorema di Lagrange

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Lagrange.

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a,b) per cui:

$f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}$

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x₀,f(x₀)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.

[modifica] Teorema Crescenza Decrescenza

Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) si ha :

$\forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0$ funzione crescente in (a,b)

$\forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0$ funzione decrescente in (a,b)

Il teorema è direttamente ricavabile dalla definzione di Lagrange.

[modifica] Teorema funzione costante

Una funzione è costante in un intervallo [a,b] solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo

[modifica] Derivabilità in R²

Per approfondire, vedi la voce funzione differenziabile.

Una funzione f si dice derivabile in ${\mathbb{R}^{\rm 2} }$ se esistono finite e continue le sue due derivate parziali

[modifica] Convessità

Per approfondire, vedi la voce funzione convessa.

Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile. Diremo che la funzione $f$ è:

convessa in $[a, b]$ se $\forall x_0 \in [a,b]$ il grafico della funzione in $[a, b]$ si mantiene sopra alla retta tangente nel punto $(x 0, f (x 0))$ .

In simboli:

$f(x) \geq f(x_0) + f'(x)(x - x_0) \forall x, x_0 \in [a,b]$

concava in [a,b] se $\forall x_0 \in [a,b]$ il grafico della funzione in [a,b] si mantiene sotto alla retta tangente nel punto $(x 0, f (x 0)$ In simboli:

$f(x) \leq f(x_0) + f'(x)(x - x_0) \forall x, x_0 \in [a,b]$

Nello studio di funzione per effettuare lo studio della convessità di una curva si effettua lo studio della disequazione:

$f^{''}(x) \geq 0$

Dove si ha il passaggio da negativo a positivo della derivata seconda abbiamo un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.

[modifica] Derivata di una serie di potenze

Una funzione espressa come serie di potenze $\sum_{n=1}^\infty a_n X^n$ con raggio di convergenza r è continua e dunque derivabile su tutto l'intervallo (-r, r). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente: