Công thức Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Công thức Euler.

Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler, là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

e i x = c o s (x) + i s i n (x)

Ở đây e là logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức, sin và cos là các hàm số lượng giác.

Khai triển từ công thức trên, các hàm số cos(x) và sin(x) có thể được viết dưới dạng sau:

c o s (x) = (1 / 2)(e i x + e - i x)

s i n (x) = (1 / 2 i)(e i x - e - i x)

Trường hợp đặc biệt: khi x = π, ta có e^iπ = cos(π) + i sin(π) = -1, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:

e^iπ + 1 = 0

[sửa] Chứng minh

[sửa] Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor

Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:

$i^0=1 \,$

$i^1=i \,$

$i^2=-1 \,$

$i^3=-i \,$

$i^4=1 \,$

$i^5=i \,$

....

Các hàm e^x, cos(x) và sin(x) (với giả sử x là số thực) có thể được viết như sau:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$

$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\sin (z) \,$

Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.

Q.E.D.

[sửa] Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân

Xét hàm số $f$ xác định bởi:

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \$

Điều này thực hiện được do phương trình

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \$

cho thấy là $e i x$ luôn khác 0.

Đạo hàm của $f$ theo qui tắc chia sẽ có dạng:

$f'(x)\,$	$= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \$
	$= 0 \$

Do đó $f$ phải là hàm hằng. Vì vậy,

$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1$

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}$

Q.E.D.

[sửa] Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường

Xét hàm số $f (x)$ xác định bởi

$f(x) \equiv e^{ix} .\$

Chú ý rằng $i$ là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của $f (x)$ sẽ là

$f'(x) = i e^{ix} \$

$f''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \$

do $i 2 = - 1$ theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:

$f''(x) = -f(x) \$

hay

$f''(x) + f(x) = 0. \$

Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:

$f_1(x) = \cos(x) \$

$f_2(x) = \sin(x). \$

Cả $cos(x)$ và $sin(x)$ đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là

$f(x)\,$	$= A f_1(x) + B f_2(x) \$
	$= A \cos(x) + B \sin(x) \$

với mọi hằng số $A$ và $B .$ Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm $f (x)$ :

$f(0) = e^{i0} = 1 \$

$f'(0) = i e^{i0} = i \$ .

Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến

$f(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \$

$f'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \$

Từ đó cho

$f(0) = A = 1 \$

$f'(0) = B = i \$

và sau cùng là

$f(x) \equiv e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \$

Q.E.D.

[sửa] Xem thêm

i
Hàm mũ phức

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê