二元搜尋樹
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二叉查找树(Binary Search Tree),或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:
- 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
- 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高,O(log(n)).
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[编辑] 二叉排序树的查找算法
在二叉排序树b中查找x的过程为:
- 若b是空树,则搜索失败,否则:
- 若x等于b的根结点的数据域之值,则查找成功;否则:
- 若x小于b的根结点的数据域之值,则搜索左子树;否则:
- 查找右子树。
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){ //在根指针T所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素,若查找成功, //则指针p指向该数据元素结点,并返回TRUE,否则指针指向查找路径上访问的最后 //一个结点并返回FALSE,指针f指向T的双亲,其初始调用值为NULL if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功 else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功 else if LT(key,T->data.key) return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树中继续查找 else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树中继续查找 }
[编辑] 在二叉排序树插入结点的算法
向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法,过程为:
- 若b是空树,则将s所指结点作为根结点插入,否则:
- 若s->data等于b的根结点的数据域之值,则返回,否则:
- 若s->data小于b的根结点的数据域之值,则把s所指结点插入到左子树中,否则:
- 把s所指结点插入到右子树中。
/*当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时,插入e并返回TRUE,否则返回FALSE*/ Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e){ if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p){ s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL; if(!p) T-s; //被插结点*s为新的根结点 else if LT(e.key, p->data.key) p->lchld = s; //被子插结点*s为左孩子 else ->rchild = s; //被插结点*s为右孩子 return TRUE; } else return FALSE; //树中已有关键字相同的结点,不再插入 }
[编辑] 在二叉排序树删除结点的算法
在二叉排序树删去一个结点,分三种情况讨论:
- 若*p结点为叶子结点,即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构,则只需修改其双亲结点的指针即可。
- 右*p结点只有左子树PL或右子树PR,此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树即可,作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
- 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后,为保持其它元素之间的相对位置不变,可按中序遍历保持有序进行调整,可以有两种做法:其一是令*p的左子树为*f的左子树,*s为*f左子树的最右下的结点,而*p的右子树为*s的右子树;其二是令*p的直接前驱(或直接后继)替代*p,然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱(或直接后继)。在二叉排序树上删除一个结点的算法如下:
Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){ //若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时,则删除该数据元素,并返回 //TRUE;否则返回FALSE if(!T) return FALSE; //不存在关键字等于key的数据元素 else{ if(EQ(key, T->data.key)) {return Delete(T)}; 找到关键字等于key的数据元素 else if(LT(key, T->data.key)) return DeleteBST(T->lchild, key); else return DeleteBST(T->rchild, key); } } Status Delete(BiTree &p){ //从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树 if(!p->rchild){ //右子树空则只需重接它的左子树 q=p; p=p->lchild; free(q); } else if(!p->lchild){ //左子树空只需重接它的右子树 q=p; p=p->rchild; free(q); } else{ //左右子树均不空 q=p; s=p->lchild; while(s->rchild){ q=s; s=s->rchild} //转左,然后向右到尽头 p->data = s->data; //s指向被删结点的“前驱” if(q!=p) q->rchild = s->lchild; //重接*q的右子树 else q->lchild = s->lchild; //重接*q的左子树 free(s); } return TRUE; }
[编辑] 二叉排序树性能分析
每个结点的Ci为该结点的层次数。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉排序树蜕变为单支树,树的深度为n,其平均查找长度为(n+1)/2(和顺序查找相同),最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和log2n成正比(O(log2n))。