子集
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子集，為大集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。
若 X 和 Y 为集合，且 X 的所有元素都是 Y 的元素，则有：
- X 是 Y 的子集（或称包含于 Y ）；
- X ⊆ Y;
- Y 是 X 的父集（或称包含 X ）；
- Y ⊇ X.
所有集合 Y 都是其本身的子集。 不等于 Y 的 Y 的子集称为真子集。 若 X 是 Y 的真子集，则写作 X ⊂ Y。 "是……的子集"的关系称为包含。
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[编辑] 符号
符号 "⊆" 表示任何子集；符号 "⊂" 表示真子集。
[编辑] 举例
- 集合 {1, 2} 是集合 {1, 2, 3} 的真子集。
- 自然数集合是有理数集合的真子集。
- 集合 {x : x 是大于 2000 的素数} 是集合 {x : x 是大于 1000 的奇数} 的真子集。
- 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
- 空集，写作
，是任意集合 X 的子集。（请见下面证明）空集总是其他集合真子集，除了其自身。
[编辑] 性质
命题 1：空集是任意集合的子集。
证明：给定任意集合 A，要证明 是 A 的子集。这要求给出所有 的元素是 A 的元素；但是， 没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 "∅ 没有元素，所以 ∅ 的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为 没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。
为了证明 不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于 ，但不属于 A。 因为 没有元素，所以这是不可能的。因此 一定是 A 的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题 2：若 A，B，C 是集合，则：
- 自反性:
-
- A ⊆ A
-
- 传递性:
-
- 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C
-
这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则：
- 存在并运算:
-
- A ⊆ A∪B
- 若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A∪B ⊆ C
-
- 存在交运算:
-
- A∩B ⊆ A
- 若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A∩B
-
这个命题说明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价：
-
- A ⊆ B
- A ∩ B = A
- A ∪ B = B
- A − B =
- B′ ⊆ A′
[编辑] 参见
- 冪集：某集合的全部子集组成的集合。
