Детерминанта

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена - многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.

Определителят е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.

[редактиране] Начини за изчисляване

По определение определителят на една матрица е равен на:

$\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}$

където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).

Чрез изваждане пред скоби на даден елемент a_ij, в скобите остава съответното адюнгирано количество A_ij. Съгласно теоремата на Лаплас определителят може да се развие по произволен ред i или по стълб j:

$\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}$

[редактиране] Свойства

Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е определител. Таково определение е коректно, защото съществува единствена такава форма^[1].