Kružnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V euklidovské geometrii je kružnice množina všech bodů v rovině ve stejné vzdálenosti, zvané poloměr, z pevně daného bodu, zvaného střed. Kružnice jsou jednoduché uzavřené křivky, rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek. S kružnicí úzce souvisí i termín kruh, což je množina bodů složená z kružnice i jejího vnitřku, tedy všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od středu než je poloměr. Poloměrem nazýváme také každou úsečku spojující střed s bodem na kružnici.

Základní atributy kružnice

V kartézském souřadném systému (x, y) je kružnice se středem (x₀, y₀) a poloměrem r množina všech bodů (x, y) takových, že

$\left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2=r^2$

Pokud se střed kružnice nachází v počátku souřadnic (0, 0), lze tento vzorec zjednodušit na

x 2 + y 2 = r 2

Kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1 se nazývá jednotková kružnice.

Vyjádřeno v polárních souřadnicích, lze napsat (x,y) jako

x = x₀ + r·cos(φ)

y = y₀ + r·sin(φ)

Sklon (nebo derivaci) kružnice lze vyjádřit následujícím vzorcem:

$y' = - \frac{x}{y}$

Všechny kružnice jsou podobné; v důsledku toho jsou délka kružnice a její poloměr přímo úměrné, stejně jako obsah jí určeného kruhu a čtverec poloměru kružnice. Koeficienty úměrnosti činí 2π respektive π. Jinými slovy:

Délka kružnice (obvod kruhu) = $2\pi \times r$
Obsah kruhu = $\pi \times r^2$

Vzorec pro obsah kruhu lze odvodit ze vzorce pro jeho obvod a ze vzorce pro obsah trojúhelníku. Představme si pravidelný šestiúhelník rozdělený do stejných trojúhelníků s jejich hroty ve středu šestiúhelníku. Obsah šestiúhelníku lze zjistit pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku sečtením délek všech základen trojúhelníků (na hranici šestiúhelníku), vynásobením jejich výškami (vzdálenost středu základny trojúhelníku do centra šestiúhelníku) a dělením dvěma. To vytvoří odhad obsahu kruhu. Představíme-li si totéž s pravidelným osmiúhelníkem, bude odhad o něco blíže obsahu kruhu. Budeme-li brát pravidelný mnohoúhelník s více a více stranami, dělit jej na trojúhelníky a počítat z nich obsah, tento obsah bude stále bližší a bližší obsahu kruhu. Blíží-li se v limitě počet stran k nekonečnu, součet jejich základen dosáhne obvodu kruhu 2πr, a výška trojúhelníků dosáhne poloměru r. Vynásobením obvodu a poloměru a vydělením 2 dosáhneme obsahu kruhu, π r².

Sečna, tečna, tětiva, kruhová výseč a úseč

Přímka dělící kruh na dvě části se nazývá sečna a přímka dotýkající se kruhu na jednom místě se nazývá tečna. Tečny jsou vždy kolmé k spojnici bodu doteku a středu, která je rovna poloměru. Část sečny obklopená kružnicí se nazývá tětiva, nejdelšími tětivami jsou ty, které prochází středem, zvané průměry, které se skládají ze dvou poloměrů. Část kruhu odseknutá tětivou je kruhová úseč.

Je-li známa pouze kružnice nebo její část, lze následujícím způsobem nalézt střed: vezměte dvě nerovnoběžné tětivy, zkonstruujte kolmice na jejich středy a zjistěte jejich průsečík. Poloměr r tohoto částečného kruhu lze spočítat z délky L tětivy a vzdálenosti D ze středu tětivy do nejbližšího bodu kružnice různými vzorce včetně:

Znázornění tětivy

(z geometrického odvození)

r = ((L / 2) 2 + D 2) / 2 D

(z trigonometrického odvození)

$\mbox{r}=L/\sin\big(\pi-2\mbox{tg}^{-1}(L/D)\big).$

Část kružnice mezi dvěma poloměry se nazývá oblouk a oblast (tedy výřez kruhu) mezi poloměry a obloukem se nazývá kruhová výseč. Poměr mezi délkou oblouku a poloměrem definuje úhel mezi dvěma poloměry v radiánech.

Každý trojúhelník určuje několik kružnic: jeho kružnice opsaná obsahuje všechny tři vrcholy, kružnice vepsaná leží uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří stran, tři kružnice připsané ležící mimo trojúhelník a dotýkající se vždy jedné strany a prodloužení zbylých dvou a kružnice devíti bodů, která obsahuje různé důležité body trojúhelníku. Thaletova věta tvrdí, že pokud tři vrcholy trojúhelníku leží na dané kružnici, v níž jedna strana trojúhelníku tvoří průměr kružnice, pak protilehlý úhel k této straně je pravý.

Pro dané tři body neležící na přímce zde existuje právě jedna kružnice, která tyto body obsahuje (neboli kružnice opsaná pro trojúhelník definovaný těmito body). Pro dané tři body <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)> je rovnice této kružnice dána jednoduše touto rovnicí s použitím determinantu matice:

$\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.$

Kružnice je typem kuželosečky, kde výstřednost je rovna nule (rovina řezu je kolmá k ose kužele). V afinní geometrii se všechny kružnice a elipsy stávají (afinně) izomorfními a v projektivní geometrii se k nim ostatní kuželosečky připojují. V topologii jsou všechny jednoduché uzavřené křivky homeomorfní ke kružnicím a proto je slovo kružnice na ně často aplikováno jako na celek. Třírozměrnou analogií kruhu je koule.

Kvadratura kruhu se týká (nemožné) konstrukční úlohy sestrojit pro daný kruh čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Naproti tomu Tarskiho problém složení čtverce z kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. Podle axiomu výběru je tato úloha řešitelná (ovšem jen teoreticky, protože nalezené řešení vyžaduje dělit na opravdu astronomické množství kousků).

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.