Divergencia (matemáticas)

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La divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

${\rm div} \vec F = \nabla\cdot \vec F = \lim_{\Delta V\to 0} \oint_S \vec F \cdot d\vec S$

donde $S$ es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo $\nabla$ representa el llamado operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo $\vec F$ al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de $\vec F$

$\rho(\vec r) = \nabla\cdot\vec F(\vec r)$

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

$\vec F(\vec r) = F_x(x,y,z)\hat x + F_y(x,y,z)\hat y + F_z(x,y,z)\hat z$

el resultado es sencillo

$\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x}+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}$

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac{\partial(F_1h_2h_3)}{\partial q_1} + \frac{\partial(h_1F_2h_3)}{\partial q_2} + \frac{\partial(h_1h_2F_3)}{\partial q_3}\right)$

donde los $h i$ son los factores de escala del sistema. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas ( $h x = h y = h z = 1$ ) se reduce a la expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas ( $h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho$ ) resulta

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi} + \frac{\partial(F_z)}{\partial z}$

Para coordenadas esféricas ( $h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta$ ) resulta

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r{\rm sen}\theta}\frac{\partial({\rm sen}\theta F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r{\rm sen}\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}$

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../d/i/v/Divergencia_%28matem%C3%A1ticas%29.html"

Categoría: Análisis matemático

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