Ley de Gauss

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Para el Teorema de Gauss, vaya a Teorema de la divergencia

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie.

Tabla de contenidos

1 Flujo del campo eléctrico
- 1.1 Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme
- 1.2 Flujo para una superficie esférica con una carga punto en el centro de la esfera
2 Forma integral de la ley de Gauss
3 Forma diferencial de la ley de Gauss
4 Ley de Coulomb
5 Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
6 Interpretación
7 Ley de Gauss para el campo magnético
8 Analogía gravitacional
9 Aplicaciones
- 9.1 Distribución esférica de carga
10 Véase también

[editar] Flujo del campo eléctrico

El flujo (símbolo $\Phi \,\!$ ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ${\Phi}_E \,\!$ ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para definir a ${\Phi}_E \,\!$ con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico. La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales $\Delta S \,\!$ , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores $\vec {\Delta S} \,\!$ , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera. En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico $E \,\!$ . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, $E \,\!$ puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. $\vec E \,\!$ y $\vec {\Delta S} \,\!$ caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo $\theta \,\!$ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue:

${\Phi}_E=\sum E .\Delta S$

O sea:

${\Phi}_E=\oint E.ds$

[editar] Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme $\vec E \,\!$ tal como muestra la figura:

El flujo ${\Phi}_E \,\!$ puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

${\Phi}_E=\oint E.ds={\int}_{(a)} E .dS + {\int}_{(b)} E .dS+{\int}_{(c)} E .dS$

Para la tapa izquierda, el ángulo $\theta \,\!$ , para todos los puntos, es de $180^\circ$ , $E \,\!$ tiene un valor constante y los vectores $dS \,\!$ son todos paralelos Entonces:

${\int}_{(a)} E .dS =\int E \cos 180^\circ dS= -E\int dS=-ES$

siendo $S=\pi R^2\,\!$ el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

${\int}_{(c)} E .dS =\int E \cos 0^\circ dS= E\int dS=ES$

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

${\int}_{(b)} E .dS =\int E \cos 90^\circ dS= 0$

Por consiguiente:

${\Phi}_E =-ES+0+ES\,\!= 0$

[editar] Flujo para una superficie esférica con una carga punto en el centro de la esfera

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico $\vec E \,\!$ es paralelo al vector superficie $\vec {dS} \,\!$ , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

En consecuencia:

${\Phi}_E \,\!={\int}_{(S)} E .dS ={\int}_{(S)} E \cos 0^\circ dS = E {\int}_{(S)} dS=E 4\pi r^2$

[editar] Forma integral de la ley de Gauss

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

$\Phi = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = {1 \over \epsilon_o} \int_V \rho\ dV = \frac{Q_A}{\epsilon_o}$

donde $Φ$ es el flujo eléctrico, $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $d\vec{A}$ es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, $Q A$ es la carga total encerrada dentro del área A, $ρ$ es la densidad de carga en un punto de $V$ y $ε o$ es la permitividad eléctrica del vacío.

[editar] Forma diferencial de la ley de Gauss

En su forma diferencial, la ecuación se convierte en:

$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$

donde $\vec{D}$ es el campo de desplazamiento eléctrico (en C/m²), y ρ es la densidad de carga eléctrica. Esta forma diferencial se obtiene a partir del teorema de Gauss de la divergencia.

Para materiales lineales, la ecuación es:

$\nabla \cdot \epsilon \vec{E} = \rho$

donde $ε$ es la permitividad eléctrica.

[editar] Ley de Coulomb

Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

$E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{2}}$

[editar] Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

La ley de Gauss puede deducirce matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo solido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.

El angulo solido $ΔΩ$ que es sustendido por $Δ A$ sobre una superficie esferica, se define como:

$\Delta{\Omega}=\frac{\Delta{A}}{r^2}$

siendo $r$ el radio de la esfera.

como el area total de la esfera es $4π r 2$ el ángulo solido para ‘’toda la esfera’’ es es:

$\Delta{\Omega}=\frac{\Delta{A}}{r^2} = \frac{4 \pi r^2}{r^2} = 4 \pi$

la unidad de este ángulo es el esterioradián (sr)

Si el área $Δ A$ no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a $ΔΩ$ , se busca la proyección normal, que es:

$\Delta{\Omega}=\frac{\Delta{A} {~}\hat{n} \cdot \hat{r} }{r^2} = \frac{\Delta{A} \cos{\theta} }{r^2}$

Ahora supongamos que tenemos una carga q rodeada por una superficie cualquiera. Para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar $\vec{E} \cdot \hat{n}{} \Delta{A}$ para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

$\Delta{\phi} = \vec{E} \cdot \hat{n} {~} \Delta{A} = \frac{K q}{r^2} \hat{r} \cdot \hat{n} \Delta{A} = K q \Delta{\Omega}$

De esta manera $ΔΩ$ es el mismo ángulo solido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba $ΔΩ = 4π$ para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

$\phi_{neto} = \oint_{S.C.} \vec{E} \cdot \hat{n} d{A} = K q \oint_{S.C.} d {\Omega} = 4 \pi kq = \frac{q}{\epsilon_0}$

que es la forma integral de la ley de Gauss.

[editar] Interpretación

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday sin cargas eléctricas en su interior. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.

Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual es evidente que este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.

Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.

Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

[editar] Ley de Gauss para el campo magnético

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el campo magnético, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

$\oint \vec B(\vec r)\cdot d\vec S = 0$

$\nabla \cdot \vec B = 0$

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.

En caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

$\nabla \cdot \vec B = \rho_m$

donde $ρ m$ densidad de corriente $\vec J_m$ , la cual obliga a modificar la ley de Faraday.

[editar] Analogía gravitacional

Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe

$\oint \vec E(\vec r)\cdot d\vec S = -4\pi G M_{\rm int}$

$\nabla \cdot \vec E = -4\pi G\rho_m$

siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.

Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es solo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).

[editar] Aplicaciones

[editar] Distribución esférica de carga

Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:

$q=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$

Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

$Q=\rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:

$q=Q {\left ( \frac{r}{R} \right )}^3$

Como se demostró en una sección anterior ${\Phi}_E \,\!=E 4\pi r^2$ y teniendo en cuenta que según la ley de Gauss ${\Phi}_E \,\!=\frac{q}{\epsilon_o}$ , se obtiene:

$E 4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon_o}$

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:

$E=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qr}{R^3}$

Y para puntos exteriores:

$E=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Q}{r'^2}$

En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.