Transformada Z

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En matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en las series de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Transformada Z bilateral
- 1.2 Transformada Z unilateral
2 Transformada Z inversa
3 Región de convergencia (ROC)
4 Propiedades
5 Tabla con los pares más habituales de la transformada Z
6 Relación con Laplace
7 Relación con Fourier
8 Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes
9 Véase también

[editar] Definición

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

[editar] Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

z = A e j ω

donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia (o ángulo en radianes).

[editar] Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral de define como

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal.

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

[editar] Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define

$x[n] = Z^{-1} \{(X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

donde $C \$ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, $C \$ , debe contener todos los polos de $X(z) \$ .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando $C \$ es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \$

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

[editar] Región de convergencia (ROC)

La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.

$ROC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\$

[editar] Ejemplo 1 (Sin ROC)

Sea $x[n] = 0.5^n\$ . Expandiendo $x[n]\$ en $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\} = \{..., 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\$

No hay ningún valor de $z\$ que satisfaga esta condición.

[editar] Ejemplo 2 (ROC causal)

Sea $x[n] = 0.5^n u[n]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ en $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si $\left|0.5 z^{-1}\right| < 1\$ , lo cual puede ser reescrito para definir $z\$ de modo $\left|z\right| > 0.5\$ . Por lo tanto, la ROC es $\left|z\right| > 0.5\$ . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

[editar] Ejemplo 3 (ROC anticausal)

Sea $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ entre $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-n}\$

$= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si $\left|0.5^{-1}z\right| < 1\$ , de modo que podemos definir $z\$ como $\left|z\right| < 0.5\$ . Aquí, la ROC es $\left|z\right| < 0.5\$ , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

[editar] Conclusión de los ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada $X(z)\$ de $x[n]\$ es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye $\left| z \right| = \infty\$ , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye $\left| z \right| = 0\$ .

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni $\left| z \right| = \infty\$ ni $\left| z \right| = 0\$ . La ROC crea una región circular. Por ejemplo, $x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]\$ tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será $0.5 < \left| z \right| < 0.75\$ , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal $0.5^nu[n]\$ y otro anticausal $-(0.75)^nu[-n-1]\$ .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. $\left| z \right| = 1\$ ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque $\left| z \right| > 0.5\$ contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un $x[n]\$ ambiguo) podemos determinar una única señal $x[n]\$ en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

Estabilidad
Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo $x[n]\$ que sea única.

[editar] Propiedades

Linealidad. La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.

$Z(a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]) = a_1 Z(x_1[n]) + a_2 Z(x_2[n]) \$

Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z^−k en el dominio de Z.

$Z(x[n-k]) = z^{-k}Z(x[n]) \$

Convolución. La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

$Z(\{x[n]\} \bigodot \! \! \! \! \! \! \star \ \ \{y[n]\}) = Z(\{x[n]\}) Z(\{y[n]\}) \$

Diferenciación.

$Z(\{nx[n]\}) = \ -z \frac{dZ(\{x[n]\})}{dz} \$

[editar] Tabla con los pares más habituales de la transformada Z

	Señal, $x (n)$	Transformada Z, $X (z)$	ROC
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$\mbox{todo }z\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-az^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$

[editar] Relación con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

$x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-nT) \$

donde $x(t) \$ es la señal continua muestreada, $x[n]=x(nT) \$ la n-ésima muestra, $T \$ el período de muestreo, y con la sustitución $z = e^{sT} \$ .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

[editar] Relación con Fourier

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DFTF puede hallarse evaluando la TZ $X(z)\$ en $z=e^{j\omega}\$ o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

[editar] Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

$\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\$

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por $\alpha_0 \$ , si no es cero, normalizando $\alpha_0 = 1\$ la ecuación LCCD puede ser escrita

$y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}\$

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual $y[{n}]\$ se define en función de las salidas anteriores $y[{n-p}]\$ , la entrada actual $x[{n}]\$ , y las entradas anteriores $x[{n-q}]\$ .

[editar] Función de transferencia

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

$Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\$

y dividiendo

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + ... + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + ... + z^{-N} \alpha_N}\$

[editar] Ceros y polos

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

$H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})...(1 - q_M z^{-1})}{(1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})...(1 - p_N z^{-1})}\$

donde $q_k\$ es el k-ésimo cero and $p_k\$ es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

[editar] Salida del sistema

Si por un sistema $H(z)\$ pasa una señal $X(z)\$ entonces la salida será $Y(z) = H(z)X(z)\$ . Haciendo una descomposición en fracciones simples de $Y(z)\$ y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse la salida $y[n]\$ .