Lagrangien

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Le lagrangien $\mathcal{L}[\varphi_i]$ d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$

avec l'action $\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},$

et ${}{}{}{}\ s_\alpha$ l'ensemble des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre d'action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Sommaire

1 Un exemple en mécanique classique
- 1.1 En coordonnées cartésiennes
- 1.2 En coordonnées sphériques
2 Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs
3 Formalisme mathématique
4 Voir aussi

[modifier] Un exemple en mécanique classique

Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte, le lagrangien vaut généralement l'énergie potentielle ôtée de l'énergie cinétique :

L = T - V

[modifier] En coordonnées cartésiennes

Le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace Euclidien à trois dimensions s'écrit :

$L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})$

où la dérivation temporelle est notée par un point au dessus de la quantité différentiée. Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :

$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ 0$

L'indice i = 1, 2 3. Le calcul des dérivées donne :

$\frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \, \dot{x}_j \, \dot{x}^j \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i$

$\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i$

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent donc explicitement :

$m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x^i} \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m \, \ddot{x}_i \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}$

soit sous forme vectorielle :

$m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V$

Les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes lorsque la force dérive d'un potentiel :

$\vec{F} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)$

puisque la formulation de la deuxième loi de Newton dans un référentiel Galiléen s'écrit :

$m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}$

[modifier] En coordonnées sphériques

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,θ,φ), et le lagrangien :

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).$

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.$

Ici l'ensemble des paramètres $\ s_i$ se réduit au temps $\ t$ , et les variables dynamiques $\ \phi_i(s)$ sont les trajectoires $\vec x(t)$ des particules.

[modifier] Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs

Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien $L$ , dont l'intégrale sur le temps est l'action :

$S = \int{L \, dt}$

et la densité lagrangienne $\mathcal{L}$ , qu'on intègre sur tout l'espace pour obtenir l'action :

$S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}$

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent $\mathcal{L}$ simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale $\vec x$ dans les index $i$ ou dans les paramètres $s$ pour écrire $\varphi_i(s)$ . Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens $\mathcal{L}$ , ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.

[modifier] Formalisme mathématique

Soit M une variété de dimension n, et une variété de destination T. Soit $\mathcal{C}$ l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.

Avant tout donnons quelques exemples :

En mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton, M est le variété de dimension 1 $\mathbb{R}$ , qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré cotangent de l'espace des positions généralisées.
Dans la théorie des champs, M est la variété espace-temps et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si par exemple il y a m champs scalaires réels φ₁,...,φ_m, alors la variété de destination est $\mathbb{R}^m$ . Si on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à $\mathbb{R}^n$ . Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle $S:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}$ , qu'on appelle l'action physique. Notons que c'est une application vers $\mathbb{R}$ , et non vers $\mathbb{C}$ , pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires sur l'action. Si $\varphi\in\mathcal{C}$ , on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien $\mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x)$ . En d'autres termes,

$\forall\varphi\in\mathcal{C}\, S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x).$

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est être pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de $\mathcal{C}$ des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

$\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.$