Raíz cadrada

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemáticas, a raíz cadrada dun número real non negativo x é o número real non negativo que, multiplicado consigo mesmo, dá x. A raíz cadrada de x denótase por $\sqrt{x}$ . Por exemplo, $\sqrt{16} = 4$ , xa que 4 × 4 = 16, e $\sqrt{2} = 1,4142...$ . As raíces cadradas son importantes na resolución de ecuacións cadráticas.

A xeralización da función raíz cadrada ós números negativos da lugar ós números imaxinarios e ó campo dos números complexos.

O símbolo da raíz cadrada empregouse por primeira vez no século XVI. Especúlase con que tivo a sua orixe nunha forma alterada da letra r minúscula para representar a palabra latina "radix", que significa "raíz".

[editar] Definición

Sexa n un número natural non nulo. A función x → xⁿ define unha bixección, de R hacia R se n é impar, e de $\mathbb{R}^+ = [0,\infty]$ se $n$ é par.
Chámase enésima raíz, ou raíz de orde n á sua función recíproca, e denótase:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ . (dúas notacións posibles)

Para todo n natural, a e b reales positivos, temos a equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .

No gráfico seguinte, hai dibuxadas as curvas de algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A diagonal da ecuación y = x é eixo de simetría entre cada curva e a curva da sua recíproca.

Cambiando de escala:

A raíz de orde dous chámase raíz cadrada e, por ser a máis frecuente, escríbese sen superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$ .
A raíz de orde tres chámase raíz cúbica.

O cálculo efectivo da raíz fáese mediante as funcións logaritmo e expoñencial:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\ln \frac{x}{n}\right) = \frac{e^{\ln x}}{n}$ .

Tódolos ordenadores e calculadoras empregan este método. O problema é que éste cálculo non funciona cos números negativos, porque o logaritmo usual so está definido en (0; + ∞). De ahí unha tendencia, todavía minoritaria, de definir as raíces a partir desta fórmula, e polo tanto de restrinxir os seus dominios de definicion a (0; + ∞).

[editar] Propiedades

As seguintes propiedades da raíz cadrada son válidas para tódolos números positivos x, y (e, no primeiro caso, distintos de cero):

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todo número real x (véxase valor absoluto)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , que é outro xeito de expresar a raíz cadrada.

A función raíz cadrada, en xeral, transforma números racionais en números alxebraicos; $\sqrt{x}$ é racional se e só se x é un número racional que pode escribirse como fracción dos cadrados perfectos. Se o denominador é 1² = 1, entón trátase dun número natural. En cambio, $\sqrt{2}$ é irracional.