Kvadratrot

Wikipedia

Inom matematik är en kvadratrot den ickenegativa lösningen r till ekvationen r² = x där x är ett positivt reellt tal. Exempelvis har talet 9 kvadratroten $\sqrt 9$ = 3 eftersom 3² = 9.

Kvadratroten ur negativa tal kan ej definieras på ett tillfredsställande sätt, men genom att införa de imaginära talen kan man finna lösningar till ekvationer r² = x även när x är negativt.

Mer allmänt kan kvadratrötter definieras för diverse objekt som exempelvis matriser, funktioner, och heltal under moduloräkning.

Innehåll

1 Positiva tal
- 1.1 Räknelagar
- 1.2 Beräkningsmetoder
2 Negativa och komplexa tal
3 Historik
4 Kvadratrötter av de första 20 heltalen
5 Se vidare

[redigera] Positiva tal

[redigera] Räknelagar

Följande viktiga egenskaper för kvadratrötter gäller för alla positiva reella tal x och y, och kan härledas från potenslagarna:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ för varje reellt tal x (se absolutbelopp)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Kvadratroten ur ett positivt heltal n är ett heltal endast om n är en perfekt kvadrat, det vill säga för n = 1, 4, 9, 16, 25, ..., och i annat fall ett irrationellt tal. Mer generellt är kvadratroten ur ett rationellt tal vars nämnare eller täljare inte är en perfekt kvadrat ett irrationellt tal. Kvadratroten ur 2, ungefär lika med 1,4142, var troligtvis det första kända irrationella talet, studerat av Pythagoreerna. Däremot är kvadratroten ur ett algebraiskt tal alltid algebraisk.

[redigera] Beräkningsmetoder

Om exponential- och logaritmfunktionerna exp och ln finns tillgängliga kan kvadratrötter beräknas enligt

$\sqrt{x} = e^{\frac {\ln x}{2}}$

En effektiv algoritm för att approximera kvadratrötter, känd under namnet "babylonska metoden", är ett specialfall av Newton-Raphsons metod. För att beräkna $r\approx \sqrt x$ :

Starta med ett godtyckligt värde r_n (ju närmare roten, desto färre upprepningar behöver göras):r_n
ersätt r med medelvärdet av r och $\frac x r$ : $r_{n+1} = (r_n + \frac x r_n) / 2$
om r_n+1 - r_n inte nått önskvard noggrannhetsgräns: gå till steg två igen

Beräkningskomplexiteten för den babylonska metoden är densamma som för multiplikation.

[redigera] Negativa och komplexa tal

För att kunna lösa ekvationen $r 2 = x$ där x är ett känt negativt tal har man infört imaginära tal (betecknas i) enligt definitionen $i 2 = - 1$ . Det visar sig då att man kan lösa alla typer av polynom ekvationer. Även om det egentligen inte möjligt att använda rottecknet direkt, eftersom detta endast går att definiera entydigt för reella, postiva tal, används det dock ibland informellt.

Exempel: $\sqrt{-1}=i$ är inte ett korrekt skrivsätt, eftersom då följande skulle gälla

$i=\sqrt{-1}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\frac{1}{\sqrt{-1}}=\frac{1}{i}=-i$

Exempel: Låt $\sqrt{1+i}=a+ib$ . Man vet att $1+i=(a+ib)^2=a^2+2i\,ab-b^2$ , enligt definitionen av kvadratrot och räkneregler för komplexa tal. Man kan nu identifiera konstanterna och få ekvationssystemet

$\left\{ \begin{matrix}a^2-b^2=1 \\ 2i\,ab=i \end{matrix}\right.$

Detta system har två lösningar och kräver således fler vilkor för att vara entydigt.

[redigera] Historik

Symbolen $\sqrt{}$ började användas på 1500-talet.

[redigera] Kvadratrötter av de första 20 heltalen

√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276