Vierkantswortel

De vierkantswortel, tweedemachtswortel of ook eenvoudigweg wortel, is het eenvoudigste voorbeeld van het wiskundige begrip wortel.

Inhoud

1 Definitie
2 Elementaire voorbeelden
3 Speciale gevallen
4 Rekenregels
5 Verband met absolute waarde
6 Verband met gebroken macht
7 Verband met algebraïsche, complexe en irrationale getallen
8 Benaderingen van de vierkantswortels van de getallen 1 t/m 20

[bewerk] Definitie

De vierkantswortel van een niet-negatief reëel getal a, genoteerd als $\sqrt{a}$ , is het niet-negatieve getal b waarvan het kwadraat gelijk is aan a; dus:

$\sqrt{a}=b \Harr b \ge 0 \wedge b^2=a \!$ .

Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor $a \ge 0$ . Met andere woorden: de vierkantswortel van een negatief getal bestaat niet binnen de reële getallen.

De naam vierkantswortel houdt verband met het volgende: van een vierkant met oppervlakte a heeft iedere zijde de lengte $\sqrt{a}$ .

[bewerk] Elementaire voorbeelden

Enkele voorbeelden van vierkantswortels zijn:

$\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{144} = 12$
$\sqrt{6,25} = 2,5$ want 2,5² = 6,25
$\sqrt{4.294.967.296} = 65.536$
$\sqrt{1/9} = 1/3$ want (1/3)² = 1/9

[bewerk] Speciale gevallen

Speciale gevallen zijn:

$\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{1} = 1$

[bewerk] Rekenregels

Bij het werken met vierkantswortels kan gebruik worden gemaakt van de volgende rekenregels, die in wezen dezelfde zijn:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Men moet de bovenstaande rekenregel uiteraard niet toepassen op getallen waarvoor de wortel niet gedefinieerd is. Uit een voorbeeld blijkt dat anders merkwaardige resultaten kunnen ontstaan.

Let op!

$\sqrt{x}+ \sqrt{y}$ is niet gelijk aan $\sqrt{x+y}$

[bewerk] Verband met absolute waarde

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ voor elk reëel getal x (zie absolute waarde)

[bewerk] Verband met gebroken macht

$\sqrt{x} = x^{\frac 12}$

[bewerk] Verband met algebraïsche, complexe en irrationale getallen

Iedere vierkantswortel van een niet-negatief geheel getal valt onder de algebraïsche getallen, en is geheel als dat getal een kwadraat is, en anders irrationaal. Voor $\sqrt{2}$ hier het bewijs dat het geen rationaal getal is.

Van een negatief getal kan geen reële vierkantswortel worden berekend. Uit de behoefte om toch een vergelijkbare bewerking op negatieve getallen uit te kunnen voeren, zijn de complexe getallen ontstaan. Op het domein van de complexe getallen heeft bijvoorbeeld het getal -1 twee vierkantswortels, i en -i.

[bewerk] Benaderingen van de vierkantswortels van de getallen 1 t/m 20

$\sqrt{x}$ voor $1 \leq x \leq 10$	$\sqrt{x}$ voor $11 \leq x \leq 20$
$\sqrt{1} = 1$	$\sqrt{11} = 3,3166$
$\sqrt{2} = 1,4142$	$\sqrt{12} = 3,4641$
$\sqrt{3} = 1,7321$	$\sqrt{13} = 3,6056$
$\sqrt{4} = 2$	$\sqrt{14} = 3,7417$
$\sqrt{5} = 2,2361$	$\sqrt{15} = 3,8730$
$\sqrt{6} = 2,4495$	$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{7} = 2,6458$	$\sqrt{17} = 4,1231$
$\sqrt{8} = 2,8284$	$\sqrt{18} = 4,2426$
$\sqrt{9} = 3$	$\sqrt{19} = 4,3589$
$\sqrt{10} = 3,1623$	$\sqrt{20} = 4,4721$