Funzione zeta di Riemann
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La funzione Zeta di Riemann ζ(s) è definita per ogni numero complesso s ≠ 1 dalla serie:
che converge per Re(s) > 1, mentre nel resto del piano complesso si puo` utilizzare l'insieme dei suoi prolungamenti analitici, ad esempio sfruttando la relazione di riflessione sotto riportata. L'importanza di questa funzione è legata all'ipotesi di Riemann.
Indice |
[modifica] Rappresentazione in prodotto infinito
dove il prodotto corre su tutti i numeri primi p.
[modifica] Rappresentazione in serie di Dirichlet
dove μ(n) è la funzione di Möbius.
dove σ(n) è la somma di tutti i divisori di n (1 e n compresi).
[modifica] Rappresentazione integrale
dove Γ(s) è la funzione Gamma di Eulero. Si puo` mostrare che questa rappresentazione converge per Re(s) > 0.
[modifica] Relazione di riflessione
Questa relazione fornisce un prolungamento analitico al semipiano complesso negativo Re(s) < 1
[modifica] Collegamento con i numeri di Bernoulli Bk
casi particolari:
ζ(2) = π2 / 6
ζ(4) = π2 / 90
ζ(6) = π2 / 945
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