Metodo di falsa posizione in Fibonacci

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Il metodo di falsa posizione o regula falsi è un metodo per la risoluzione di problemi algebrici riconducibili ad equazioni o sistemi d'equazioni lineari. Lo introduciamo come viene proposto da Fibonacci nella terza parte del capitolo 12 del Liber abbaci, analizzando in particolare il problema dell'albero e il problema del denaro suddiviso tra due o tre uomini.

Indice

1 Esempio di soluzione di un'equazione lineare
2 Rappresentazione grafica del metodo di falsa posizione
3 Soluzione di un sistema di due equazioni lineari
4 Soluzione di un sistema di tre equazioni lineari
5 Soluzione con il metodo diretto

[modifica] Esempio di soluzione di un'equazione lineare

Supponiamo di voler determinare l'altezza h di un albero i cui 7/12 si trovano nel sottosuolo e corrispondono a 21 palmi.

Basta osservare che, se 7/12 dell'altezza totale sono 21 palmi, allora vale la relazione

$7:21=12:h\;$ .

(1.1)

Questa individua una quaterna di numeri proporzionali alla quale si può applicare direttamente la regola del quarto proporzionale ottenendo

$h=\frac{21\cdot 12}{7}=36$

esprimente la lunghezza richiesta in palmi.

Questo procedimento per determinare h, è senza dubbio molto semplice, al giorno d'oggi; le eventuali difficoltà che possono emergere nei calcoli, sono facilmente superabili con l'ausilio di strumenti come la calcolatrice o il pc. In passato però, in assenza di strumenti che potessero facilitare i calcoli, fu molto importante l'introduzione di procedure che semplificassero i conti da svolgere. A questo proposito, illustriamo il metodo chiamato metodo di falsa posizione o anche regula falsi. Assegniamo al valore cercato, in questo caso l'altezza h, una 'falsa posizione', cioè un qualunque numero intero scelto arbitrariamente e valutiamo la proporzione che si ricava da tale 'posizione'.

Se consideriamo (7/12) h, supponiamo che h sia un qualunque numero intero $h f p$ divisibile per 12, ad esempio $h f p = 24$ , da cui si ottiene come approssimazione

$\frac{7}{12}\, h_{fp}=14$

Da questa relazione, poiché ci chiediamo quale sia il valore di h affinché i suoi 7/12 siano pari a 21, ricaviamo la seguente relazione di proporzionalità

$\,14:21=24:h\,$

(1.2)

cioè l'approssimazione sta al valore noto, come la 'falsa posizione' $h f p$ sta alla soluzione esatta h. Applicando la regola del quarto proporzionale, si ottiene anche in questo modo

$h=\frac{21\cdot 24}{14}=36$

per la misura in palmi.

Osserviamo che anche con il metodo regula falsi si utilizza la regola del quarto proporzionale, ma applicata ad una proporzione diversa dalla (1.1) ottenuta direttamente dai dati iniziali del problema. La (1.2) può essere generalizzata come

$a:v=fp:s\;$

(1.3)

ove per un generico problema, s e v indicano la soluzione esatta e il corrispondente valore noto, fp ed a sono invece la 'falsa posizione' scelta e l'approssimazione relativa ad essa. La proporzione (1.3), alla base del metodo regula falsi è evidentemente valida solo per equazioni lineari del tipo $\,ax=b\,$ e per problemi ad esse riconducibili (si noti che nel Liber abbaci sono trattati solo casi con $a, b > 0$ ). Per quanto scritto, il problema dell'albero, ad esempio, si riduce all'equazione (7/12) h = 21.

[modifica] Rappresentazione grafica del metodo di falsa posizione

È possibile visualizzare graficamente il metodo di falsa posizione mediante gli strumenti della geometria analitica. Per l'esempio considerato, tracciamo il grafico della retta di equazione $\,y=7/12 x\,$ (passante per l'origine) come in figura:

Fig.1 - Rappresentazione grafica per il problema dell'albero

L'ascissa del punto $\,H_{fp}\,$ è la 'falsa posizione' scelta, 24, e la sua ordinata è l'approssimazione corrispondente, 14; la soluzione cercata è invece l'ascissa del punto H di ordinata nota uguale a 21. Poiché il segmento $\,A_{fp}H_{fp}\,$ è parallelo al segmento $\,AH\,$ , i triangoli $\,OA_{fp}H_{fp}\,$ e $\,OAH\,$ hanno gli angoli corrispondenti uguali, dunque sono triangoli simili; questo implica che

$\overline{A_{fp}H_{fp}}:\overline{AH}=\overline{OA_{fp}}:\overline{OA}$

ovvero si riottiene la (1.2), dove h è il segmento OA.

[modifica] Soluzione di un sistema di due equazioni lineari

Il metodo presentato è applicabile anche a problemi riconducibili a sistemi di più equazioni lineari in più variabili. L'applicabilità del metodo infatti, come mostreremo, è legata alla linearità delle equazioni e non al numero delle variabili coinvolte.

Supponiamo di voler risolvere il seguente problema. Due uomini possiedono una certa somma di denaro. Sono noti due fatti: se il primo uomo riceve 7 monete dal secondo, si trova ad avere 5 volte il denaro rimasto all'altro; se invece il secondo riceve 5 monete dal primo, ha 7 volte quanto resta al primo. Vogliamo determinare quante monete hanno rispettivamente entrambi gli uomini. Osserviamo che, se indichiamo con A il denaro del primo uomo e con B la somma dell'altro, il problema è equivalente al sistema di due equazioni lineari in due incognite

$\left\{ \begin{matrix} A+7 & =\; 5(B-7)\\ B+5 &= \; 7(A-5) \end{matrix} \right.$

(1.4)

Per prima cosa, cerchiamo di stabilire qual è la parte di denaro attribuita a ciascun uomo rispetto alla somma totale. A tal fine, per visualizzare meglio il problema, lavoriamo come proposto da Fibonacci, con i segmenti mostrati in figura:

Supponiamo, che il segmento .ab. (indichiamo i segmenti con la notazione usata nella traduzione in lingua inglese del Liber abbaci a cura di Laurence E. Sigler) sia la somma totale di denaro, .ag. sia la parte del primo, e .gb. ciò che possiede il secondo. Il punto d del segmento .gb. ed il punto e appartenente ad .ag. sono tali che si ha $. g d . = 7$ e $. e g . = 5$ . Allora

$.ad.=.ag.+.gd. =5.db.\;$ $.eb.=.eg.+.gb. =7.ae.\;$

da cui segue che $. a b . = 5. d b . + . d b . = . a e . + 7. a e .$ , ovvero $. d b . = 1 / 6. a b .$ e $. a e . = 1 / 8. a b .$ . Perciò:

$.ag.=\frac{1}{8}\, .ab.\,+5\,; \quad \quad .gb.=\frac{1}{6}\, .ab.\,+7\,$

(1.5)

Inoltre

$.ab.-(.ae.+.db.)=.ed.=.eg.+.gd.=\,12\,$ $.ae.+.db.= \frac{7}{24}\, .ab.$

Così .ab. deve soddisfare l'equazione lineare

$.ab.-\frac{7}{24}\, .ab.=\,12\,$

(1.6)

Le espressioni ricavate nella (1.5) permettono quindi di ricondurre il sistema (1.4) all'equazione lineare precedente, che può essere risolta con la regula falsi. Scegliamo $. a b . f p = 24$ come falsa posizione; l'approssimazione ottenuta è

$.ab._{fp}-\frac{7}{24}\, .ab._{fp}=\,17\,$

Il valore esatto di .ab. si ha dunque applicando la regola del quarto proporzionale alla proporzione

$17:12=24:.ab.\;$

cioè

$.ab.=\frac{12\cdot 24}{17}=\frac{288}{17}$

Il denaro del primo uomo è così

$.ag.=\frac{1}{8}\cdot \frac{288}{17}\, + \, 5=\frac{121}{17}\,$

il denaro del secondo uomo è

$.bg.=\frac{1}{6}\cdot \frac{288}{17}\, + \, 7=\frac{167}{17}$

[modifica] Soluzione di un sistema di tre equazioni lineari

La regula falsi è applicabile ad un qualsiasi sistema di equazioni lineari avente soluzione, indipendentemente dal numero di variabili coinvolte. Supponiamo per esempio, di voler risolvere un problema simile al precedente, in cui il denaro sia suddiviso fra tre uomini, partendo dalla conoscenza di tre fatti: se il primo uomo prende 7 monete dagli altri, ha 5 volte la loro somma di denaro; se il secondo prende 9 monete, ha 6 volte la somma rimasta al primo e al terzo, e quest'ultimo, con 11 monete, ha 7 volte quanto resta al primo e al secondo. Trascriviamo il problema in simboli algebrici indicando con A, B, C rispettivamente il denaro del primo, del secondo e del terzo uomo; otteniamo il seguente sistema di tre equazioni lineari in tre variabili

$\left\{ \begin{matrix} A+7 & =\; 5(B+C-7)\\ B+9 &= \; 6(A+C-9)\\ C+11& =\; 7(A+B-11)\\ \end{matrix} \right.$

(1.7)

Seguendo lo stesso procedimento usato per il problema precedente, cerchiamo innanzitutto di stabilire quanto denaro viene attribuito a ciascun uomo rispetto alla somma totale $T = A + B + C$ . Se il primo uomo, ricevute 7 monete, ha 5 volte la quantità di denaro rimasta agli altri due, poiché

$T\,=\,(A+7)+(B+C-7)=5(B+C-7)+(B+C-7)=6(B+C-7)$

allora

$A=\frac{5}{6}\,T\,-7$

(1.8)

Analogamente si ricava che:

$B=\frac{6}{7}\,T\,-9$

(1.9)

$C=\frac{7}{8}\,T\,-11$

(1.10)

Le relazioni (1.8), (1.9), e (1.10) permettono di ricondurre il sistema (1.7) all'equazione lineare

$\left(\frac{5}{6}+\frac{6}{7}+\frac{7}{8}\right)T\,-T\,=\,27$

(1.11)

risolvibile con la regula falsi. Se consideriamo come falsa posizione il minimo comun denominatore tra 6, 7, 8, cioè $\,T_{fp}=168\,$ , il primo membro della (1.11) viene approssimato a

$\frac{5}{6}\,168+\frac{6}{7}\,168+\frac{7}{8}\,168\,-168=140+144+147-168=263\,$

Si ricava così la proporzione

$263:27=168:T\,$

da cui segue, per la regola del quarto proporzionale,

$T=\frac{27\cdot 168}{263}$

In particolare:

$A=\frac{140\cdot 27}{263}\,-7\,=\frac{1939}{263}\,$ $B=\frac{144\cdot 27}{263}\;-9\,=\frac{1521}{263}\,$ $C=\frac{147\cdot 27}{263}\,-11\,=\frac{1076}{263}\,$

[modifica] Soluzione con il metodo diretto

Nel Liber abbaci è proposta un'altra possibile soluzione per i sistemi lineari, attraverso il cosiddetto metodo diretto.

Mostriamo come tale metodo può essere applicato per esempio, al problema equivalente al sistema (1.4). Definiamo come ‘incognita’ (=‘la cosa’, nella terminologia di Fibonacci) un valore non noto, da determinarsi con la risoluzione del problema. Per comodità indichiamo l'incognita con la notazione odierna x. Nel nostro caso, consideriamo come incognita x la somma di denaro che resterebbe al secondo uomo, date 7 monete al primo, cioè $\,x=B-7\,$ . Se il primo uomo, ricevute le 7 monete, ha 5 volte quanto rimane al secondo, allora $\,A=5x-7\,$ . Dalla seconda equazione del sistema (1.4), segue che $\,x+12=7(5x-12)\,$ , cioè

$x+12=35x-84\,$

(1.12)

Poiché, aggiungendo o togliendo uno stesso valore a due quantità uguali, l'uguaglianza non cambia, sommiamo 84 monete e sottraiamo x ad entrambi i membri dell'eq. (1.12). Si ottiene

$34x \,=\, 96$ .

A questo punto è sufficiente dividere entrambi i membri per 34 per determinare il valore dell'incognita $\,x=96/34=48/17\,$ , da cui si ha $\,B=167/17\,$ e $\,A=121/17\,$ , come trovato precedentemente.

Tutti i problemi e i metodi algoritmici proposti da Fibonacci nel Liber abbaci sono illustrati solo mediante descrizioni colloquiali, senza mai ricorrere a formule. Il simbolismo algebrico inserito nelle spiegazioni precedenti, utilizzato per una maggiore comprensione del procedimento risolutivo, non esiste nel Liber abbaci, così come la rappresentazione grafica della regula falsi, sviluppata con i metodi della geometria analitica.

Un altro metodo, deducibile da questo, è il metodo di doppia falsa posizione o metodo elchataym. Per contrapporlo a quest'ultimo il metodo attuale viene detto metodo di falsa posizione semplice.

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Categoria: Storia della matematica