편미분

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편미분이란 두 개 이상의 변수가 있는 식에서, 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 $\frac{ \partial f }{ \partial x }$ , 또는 $\partial_xf$ , $f x$ 와 같이 나타낸다. 여기에서 $\partial$ 는 키릴 문자 Д의 필기체로, 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

[편집] 예

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥의 부피 V는 다음과 같다.

$V = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$ ;

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

[편집] 정의

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 U가 열린 집합이고 Rⁿ의 부분집합이고, 함수 f가 f : U → R라고 하자. a = (a₁, ..., a_n) ∈ U인 원소 a에 대해, i번째 변수 x_i의 편미분은 다음과 같이 정의된다.

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$