Alternatywa Fredholma
Z Wikipedii
Alternatywa Fredholma - twierdzenie analizy funkcjonalnej dotyczące operatorów zwartych na przestrzeni Hilberta. Alternatywa Fredholma odgrywa szczególną rolę przy badaniu istnienia i jednoznaczności rozwiązań pewnych równań całkowych.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
Niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz 
będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli K jest operatorem zwartym, to
,
,
.W powyższym twierdzeniu symbole 
i im oznaczają, odpowiednio, jądro i obraz operatora, a I operator identycznościowy, tzn. Ix = x dla wszystkich 
. Dowód alternatywy Fredholma opiera się o twierdzenie o rzucie ortogonalnym oraz twierdzenie Schaudera, mówiące, że jeśli operator liniowy i ciągły jest zwarty, to operator z nim sprzężony jest również zwarty. Bezpośrednim wnioskiem z powyższego twierdzenia jest "klasyczna" postać alternatywy Fredholma:
[edytuj] Wniosek
Jeśli operator liniowy i ciągły jest zwarty, to
- równanie niejednorodne u − Ku = f ma dla każdego
dokładnie jedno rozwiązanie 
albo
- równanie jednorodne u − Ku = 0 ma niezerowe rozwiązanie .
Z punktu 4. wynika iż oba te warunki nie mogą zachodzić równocześnie. Ponadto równanie niejednorodne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 
, natomiast przestrzeń rozwiązań równania jednorodnego ma skończony wymiar.
[edytuj] Bibliografia
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
[edytuj] Zobacz też
- operator Sturma-Liouville'a
- równanie całkowe Fredholma
- twierdzenie Hilberta-Schmidta
