Równanie całkowe Fredholma

Z Wikipedii

Równanie całkowe Fredholma - równanie całkowe postaci

$u(x)-\mu\int\limits_\Omega k(x,y)u(y)dy=v(x),\; x\in \Omega\; \mbox{(Fr)}$ ,

gdzie funkcje $k, v$ oraz liczba $μ$ są ustalone natomiast funkcja $u$ jest szukana.

Zwykle o zbiorze $Ω$ zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni $\mathbb{R}^n$ . Funkcję $k$ nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Spis treści

1 Twierdzenie Fredholma
- 1.1 Uwagi o dowodzie
2 Bibliografia
3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie Fredholma

Niech $k\in L^2(\Omega\times\Omega)$ . Wówczas

Równanie $(Fr)$ ma dla każdej prawej strony strony $v\in L^2(\Omega)$ niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

$u(x)-\mu\int\limits_\Omega k(x,y)u(y)dy=0,\, (\mbox{Fr}_0)$

jest funkcja tożsamościowo równa zeru.

Jeśli $(Fr 0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ , to istnieje również niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ równania

$u(x)-\overline{\mu}\int\limits_\Omega \overline{k(y,x)}u(y)dy=0,\, \overline{(\mbox{Fr}_0)}$ ,

ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.

Jeżeli równanie $(Fr 0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ , to równanie $Fr$ ma rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ dla danej prawej strony $v\in L^2(\Omega)$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int\limits_\Omega v(x)\overline{u(x)}dx=0$

dla każdego $u\in L^2(\Omega)$ spełniającego równanie $\overline{(\mbox{Fr}_0)}$ .

Zbiór wszystkich liczb $μ$ dla których $(Fr 0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\Omega)$ jest albo skończony albo tworzy ciąg $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ taki, że