Operator sprzężony

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Operator samosprzężony
4 Przestrzenie unormowane
5 Zobacz też

Operator sprzężony (albo hermitowski) – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej rodzaj operatora odpowiadającego liniowemu i ciągłemu operatorowi przestrzeni Hilberta.

Posługując się twierdzeniem Riesza o reprezentacji funkcjonału można wykazać, że jeśli $H 1, H 2$ są przestrzeniami Hilberta nad tym samym ciałem, a $T\colon H_1\to H_2$ jest operatorem liniowym i ciągłym, to istnieje dokładnie jeden taki operator $T^\star\colon H_2 \to H_1$ , że

$\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^\star y\rangle$ , dla $x \in H_1, y \in H_2$ ,

gdzie $\langle \cdot, \cdot\rangle$ oznacza iloczyn skalarny. To pozwala sformułować poprawną definicję operatora sprzężonego.

[edytuj] Definicja

Jeżeli $T\colon H_1 \to H_2$ jest liniowym i ciągłym operatorem przestrzeni Hilberta, to jedyny operator $T^\star\colon H_2 \to H_1$ spełniający warunek

$\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^\star y\rangle$ dla $x \in H_1, y \in H_2$

nazywamy operatorem sprzężonym z operatorem $T$ .

[edytuj] Własności

Niech $H 1, H 2, H 3$ będą przestrzeniami Hilberta nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz niech $T, T_1, T_2\colon H_1 \to H_2,\, U\colon H_2 \to H_3$ będą operatorami liniowymi i ciągłymi.

Operator $T^\star\colon H_2 \to H_1$ jest liniowy i ciągły oraz

$\|T^\star\| = \|T\|$ ,

$(T^\star)^\star = T$ ,

$\|TT^\star\| = \|T\|^2 = \|T^\star T\|$ .
Jeżeli $T$ jest izomorfizmem przestrzeni $H 1$ na przestrzeń $H 2$ , to $T^\star$ jest izomorfizmem przestrzeni $H 2$ na przestrzeń $H 1$ .
$(UT)^\star = T^\star U^\star$ .
Jeżeli $T$ jest suriekcją, to $T^\star$ jest iniekcją.
Jeżeli $T$ jest iniekcją, to obraz $T^\star(H_2)$ jest gęsty w $H 1$ , tzn.

$\operatorname{cl}\;T^\star(H_2) = H_1$ .
Jeżeli $\lambda\in K$ , to

$(\lambda T_1 + T_2)^\star = \overline\lambda T_1^\star + T_2^\star$ .
Jeżeli $H 1, H 2$ są przestrzeniami skończenie wymiarowymi i operator $T$ jest reprezentowany przez macierz $A$ , to operator sprzężony reprezentowany jest przez macierz $A^\star$ sprzężoną hermitowsko z $A$ .

[edytuj] Operator samosprzężony

Zobacz więcej w osobnym artykule: operator samosprzężony.

Jeśli $H$ jest przestrzenią Hilbeta, to operator liniowy $T\colon H \to H$ nazywamy samosprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy $T = T^\star$ . Można wykazać, że operator jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły.

[edytuj] Przestrzenie unormowane

Jeśli $X$ i $Y$ są przestrzeniami unormowanymi, a odwzorowanie $T\colon X \to Y$ jest liniowe i ciągłe, to dla każdego $y^\star\in Y^\star$ funkcjonał $T^\star y^\star$ dany wzorem

$(T^\star y^\star)x = y^\star (Tx)$

jest liniowy i ciągły. Ponadto odwzorowanie $T^\star \colon Y^\star \to X^\star$ jest liniowe i ciągłe oraz $\|T\| = \|T^\star\|$ .

Operator $T^\star$ , taki jak w powyższym twierdzeniu nazywamy operatorem sprzężonym do $T$ . W przypadku gdy $X = Y$ jest przestrzenią Hilberta, to definicja ta pokrywa się z definicją z początku artykułu (z dokładnością do izomorfizmu między $X$ a $X^\star$ - każda przestrzeń Hilberta jest antyliniowo izometrycznie izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną).