Całka powierzchniowa
Z Wikipedii
Całka powierzchniowa jest to całka, gdzie obszarem całkowania jest płat powierzchni.
Spis treści |
[edytuj] Całka nieskierowana
Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.
[edytuj] Definicja
Niech funkcja f(x, y, z) będzie określona i ciągła na powierzchni S.
Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.
D dzielimy na podobszary Δδ1,Δδ2,...,Δδn
dla każdego
Poprzez | Δδi | oznaczamy pole Δδi
ΔSi odpowiada ta część powierzchni S której rzutem na płaszczyznę XY jest Δδi
Na każdym ΔSi obieramy dowolny Pi(xi, yi, zi)
Rzutem Pi na OXY jest
Tworzymy sumę
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich (xi, yi, zi) ciąg sum qn dąży do tej samej granicy to granicę tę oznaczamy symbolem
i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.
Znak dS to różniczka pola płata.
[edytuj] Obliczanie
[edytuj] Płat dany jawnie
Jeśli jest klasy C1 w D, to
[edytuj] Płat dany parametrycznie
Jeśli
- x = x(u,v);y = y(u,v);z = z(u,v) są klasy C1 w D,
- D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką.
- Różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D
- Wyrażenie
jest różne od zera wewnątrz D.
- Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej
- Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej
to
[edytuj] Przykłady
Pole powierzchni S =
[edytuj] Całka skierowana
Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.
[edytuj] Definicja
Niech funkcja F(x, y, z) = [X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)] będzie określona i ciągła na powierzchni zorientowanej S.
Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.
D dzielimy na podobszary Δδ1,Δδ2,...,Δδn
dla każdego
Poprzez | Δδi | oznaczamy pole Δδi
ΔSi odpowiada ta część powierzchni S której rzutem na płaszczyznę XY jest Δδi
Na każdym ΔSi obieramy dowolny Pi(xi, yi, zi)
Rzutem Pi na OXY jest
Tworzymy sumę , gdzie Fn jest składową wektora 'F normalną do ΔSi.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich (xi, yi, zi) ciąg sum qn dąży do tej samej [[granica
ciągu|granicy]] to granicę tę oznaczamy symbolem
i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną.
Znak dS = [dydz, dzdx, dxdy] = [cos α, cos β, cos γ]dS to wektorowa różniczka płata.
[edytuj] Obliczanie
[edytuj] Płat dany jawnie
Jeśli jest klasy C1 w D, to N=[-φx, -φy, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ i
ε=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ. ε=-1 gdy jest zorientowany przeciwnie.
[edytuj] Płat dany parametrycznie
Jeśli
- x = x(u,v);x = x(u,v);x = x(u,v) są klasy C1 w D,
- D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką.
- Różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D
- Wyrażenie
jest różne od zera wewnatrz D.
- Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej
- Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej
to
gdzie
ε=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h. ε=-1 gdy jest zorientowany przeciwnie.
[edytuj] Dane 3 rzuty
Jeśli płat S można opisać wzorami x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y), gdzie funkcje x, y, z są określone w zbiorach Syz, Szx,Sxy, będących rzutami S na OYZ, OZX, OXY to
εx=+1, εy=+1, εz=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. εx*εz=+1 <=> zx<0 itd.
- Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
- Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
- Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.
[edytuj] Przykłady
Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère'a.