Grupa cykliczna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicje
2 Własności
3 Grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej
4 Zobacz też

Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy są potęgami pewnego elementu grupy. Równoważnie, jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).

[edytuj] Definicje

Grupę $G$ nazywamy cykliczną, jeśli ma ona jednoelementowy zbiór generatorów.

Jeśli $g \in G$ jest generatorem grupy $G$ , to napiszemy $G = \langle g \rangle$ . Wówczas

$G=\{g^n:n\in {\mathbb Z}\}$ .

Liczba elementów grupy cyklicznej zależy od rzędu generatora.

Jeśli generator $g$ grupy $G$ jest skończonego rzędu n, to grupę $G$ nazywa się skończoną grupą cykliczną (rzędu n). Ma ona n elementów,

$G = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1}\}$ .

Jeśli generator grupy ma rząd nieskończony, to grupę nazwiemy nieskończoną grupą cykliczną. Jest ona grupą przeliczalnie nieskończoną i lista

$\langle\dots, g^{-2}, g^{-1}, g^0, g^1, g^2, \dots\rangle$

podaje wszystkie elementy grupy bez powtórzeń.

Niech dany będzie dowolny element $h$ danej grupy $G$ . Podgrupę $\langle h \rangle = H \leqslant G$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez ten element, ma ona rząd równy rzędowi elementu $h$ .

[edytuj] Własności

Niech $G=\langle g\rangle$ będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a)

G

jest skończoną grupą cykliczną,

(b) dla pewnych różnych liczb całkowitych $k, l \in \mathbb Z$ mamy, że

g k = g l

g k = e

(d) dla pewnej liczby naturalnej n, grupa

G

jest izomorficzna z grupą addytywną liczb całkowitych modulo n.

Niech $G=\langle g\rangle$ będzie grupą cykliczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a)

G

jest nieskończoną grupą cykliczną,

(b) dla każdych liczb całkowitych

k < l

mamy, że $g^k\neq g^l$ ,

G

jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych.

(W obu powyższych przypadkach izomorfizmem jest odwzorowanie przyporządkowujące elementowi wykładnik generatora, czyli $g^i \mapsto i$ .)

Każda grupa cykliczna jest przemienna, gdyż $g m g n = g n + m = g n g m$ , dla dowolnych elementów $g m, g n$ danej grupy cyklicznej.

Poniższe stwierdzenia są wnioskami z twierdzenia Lagrange'a:

Jeśli grupa nie ma podgrup właściwych (tzn. różnych od całej grupy i grupy złożonej z jej elementu neutralnego), to jest ona grupą cykliczną o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą.
Jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.

[edytuj] Grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej

Grupy cykliczne o rzędzie będącym potęgą liczby pierwszej, oznaczane $C_{p^m}$ , gdzie $p$ jest pierwsza, a $m$ naturalna są często rozważane w kontekście teorii grup przemiennych.

Każda skończona grupa przemienna $G$ może być zapisana jako skończona suma prosta podgrup tego rodzaju:

$G = \bigoplus_{1 \leqslant i \leqslant n}~C_{{p_i}^{m_i}}$ .

Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do porządku.

Grupy te wyróżniają się pośród skończenie generowanych grup przemiennych jako grupy torsyjne, które nie mogą być wyrażone jako suma prosta dwóch właściwych podgrup. Wraz z grupą liczb całkowitych, stanowią one „klocki” z których składają się skończenie generowane grupy abelowe.

Podgrupy cyklicznych grup o rzędzie będącym potęgą liczb pierwszych są uporządkowane liniowo przez relację zawierania. Jedynymi innymi grupami o tej własności są grupy quasicykliczne.