Przestrzeń unitarna

Z Wikipedii

Przestrzeń unitarna to przestrzeń liniowa V nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której zdefiniowano iloczyn skalarny.

Spis treści 1 Definicja 2 Własności 3 Ortogonalność 4 Przykłady 5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Iloczyn skalarny oznaczany jest:

i spełnia następujące aksjomaty dla dowolnych wektorów x, y, z oraz dowolnego skalara α:

1. <x,y> = <y,x>*

2. <x+y,z> = <x,z>+<y,z>

3. <αx,y> = α<x,y>

4. <x,x> ≥ 0 oraz <x,x> = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0 (element zerowy przestrzeni V).

gdzie symbol * oznacza sprzężenie.

[edytuj] Własności

Z aksjomatów 1. i 2. wynika:

<x,y+z> = <x,y>+<x,z>.

Z aksjomatów 1. i 3. wynika:

<x,αy> = <x,y>α*.

Z aksjomatu 1. wynika, że <v,v> należy do R.

Jeżeli K = R to aksjomat 1. przyjmuje postać:

<x,y> = <y,x>.

Nierówność Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza:

|<x,y>|² ≤ <x,x><y,y>,

przy czym jeżeli x i y są liniowo zależne otrzymujemy równość.

Ze względu na własności iloczynu skalarnego, funkcja ||·|| zdeifniowana:

spełnia aksjomaty normy. Normę tę nazywamy generowaną przez iloczyn skalarny. Z tego też względu każda przestrzeń unitarna jest także unormowana. Ponadto definiując funkcję d(x,y) = ||x-y|| otrzymujemy metrykę.

Korzystając z powyższej definicji normy możemy zdefiniować cosinus kąta między wektorami x i y jako:

[edytuj] Ortogonalność

Wektory x i y nazywamy ortogonalnymi wtedy gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero i oznaczamy ten fakt następująco:

Ortogonalność jest uogólnieniem geometrycznego pojęcia prostopadłości w przestrzeniach kartezjańskich. Oczywistym jest, że cosinus kąta zawartego między dwoma wektorami ortogonalnymi jest równy zero.

Jeżeli układ wektorów u₁,...,u_k z V spełnia warunek <u_i,u_j>=0 dla i,j=1,...,k i i≠j, to nazywamy go układem ortogonalnym. Każdy układ ortogonalny jest liniowo niezależny. Ponadto jeżeli układ taki jest bazą przestrzeni V, wtedy mówimy o bazie ortogonalnej. Z każdej bazy przestrzeni unitarnej można otrzymać bazę ortogonalną. Proces taki nazywa się ortogonalizacją. Najczęściej stosowana w praktyce jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.

[edytuj] Przykłady

Przestrzeń liczb rzeczywistych z iloczynem skalarnym zdefiniowanym:

<x,y>:=x y

jest trywialną przestrzenią unitarną.

Przestrzeń funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, całkowalnych na pewnym przedziale I z iloczynem skalarnym zdefiniowanym następująco:

jest unitarna.

[edytuj] Zobacz też

• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń unormowana