Test dla proporcji

Z Wikipedii

Testy dla proporcji — to testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez dotyczących wartości proporcji w populacji generalnej lub też do porównania wartości proporcji w kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub kilku próbach) pobranych z populacji.

Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład, jeśli w grupie \n osób jest \m palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa $p = \frac{m}{n}$ .

Spis treści

1 Struktura i podział testów
2 Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych)
3 Testy dla dwóch proporcji
- 3.1 Dwie próby niezależne
  - 3.1.1 Test dla dwóch prób dużych
  - 3.1.2 Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat)
- 3.2 Dwie próby zależne
  - 3.2.1 Liczebność duża
  - 3.2.2 Liczebność mała (test McNemara)
4 Testy dla wielu proporcji
- 4.1 Próby niezależne
  - 4.1.1 Test Fishera-Snedecora
- 4.2 Próby zależne
5 Bibliografia

[edytuj] Struktura i podział testów

Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności $α$ – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego. Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników:

czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji
jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu
w przypadku dwu lub więcej prób – czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.

[edytuj] Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych)

W próbie losowej o liczebności \n jest \m elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie $p = \frac{m}{n}$ . Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość $p o$ . Hipotezy mają postać:

H0: $p = p 0$

H1: postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia: (a) $p > p o$ albo (b) $p < p o$ albo też (c) $p = p o$ .

Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek $n > 50$ , a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: $0,2 < p < 0,8$ . Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym. Obliczamy:

$z=\frac{p-p_{o}}{\sqrt{\frac{p_{o}\cdot q_{o}}{n}}}$ , gdzie $q o = 1 - p o$

Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności $α$ dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli $F n (z)$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a $F_{n}^{-1}(\alpha)$ - funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast $α$ - założonym poziomem istotności – to odczytujemy: dla przypadku (a) $z_{kryt}=F_{n}^{-1}(1-\alpha)$ , w przypadku (b) $z_{kryt}=F_{n}^{-1}(\frac{\alpha}{2})=- F_{n}^{-1}(1-\alpha)$ , zaś w przypadku (c) mamy 2 wartości graniczne: $z_{kryt1}=F_{n}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})$ oraz $z k r y t 2 = - z k r y t 1$ . Przedział krytyczny – w przypadku (a) jest prawostronny, czyli gdy $z > z k r y t$ – odrzucamy H0, w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia. W przypadku (b) – przedział krytyczny jest lewostronny (dla $z < z k r y t$ odrzucamy H0), a w przypadku (c) – przedział krytyczny jest obustronny.

[edytuj] Testy dla dwóch proporcji

[edytuj] Dwie próby niezależne

Poniżej omówiono dwa testy – jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce z o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.

[edytuj] Test dla dwóch prób dużych

Liczebności prób powinny spełniać relacje: $n 1 > 50$ i $n 2 > 50$ . Jeżeli spośród $n 1$ elementów pierwszej próby $m 1$ spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa $p_{1} = \frac {m_{1}}{n_{1}}$ . Analogicznie dla drugiej próby $p_{2} = \frac {m_{2}}{n_{2}}$ .

Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:

$\bar{p} = \frac {m_{1} + m_{2}}{n_{1} + n_{2}}$

oraz $\bar{q} = 1- \bar{p}$

a następnie wyznaczamy wartość statystyki $z$ :

$z = \frac{p_{1} - p_{2}} {\sqrt{\bar{p}\cdot{\bar{q}}\cdot{\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)}}}$

Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.

[edytuj] Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat)

Tutaj liczebności muszą spełniać warunek $n = n 1 + n 2 > 20$

Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2x2:

Liczba elementów:	Próba 1	Próba 2	Suma:
spełniających warunek (TAK)	a	b	a + b
nie spełniających warunku (NIE)	c	d	c + d
Suma:	n1=a+b	n2=b+d	n=a+b+c+d

Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki

$\chi^2=\frac{\left(|ad-bc|-\frac{n}{2}\right)^{2}\cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

gdzie $n=\frac{n_{1}\cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że $n 1 + n 2 > 40$ - można wówczas pominąć w liczniku składnik $\frac{n}{2}$ w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.

[edytuj] Dwie próby zależne

Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe: $n 1 = n 2 = n$ . Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2x2:

Liczebności	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	a	b
Próba 1: NIE	c	d

Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np. $p_{11}=\frac{a}{n}, p_{10}=\frac{b}{n}$ itd.)

Proporcje:	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	$p 11$	$p 10$
Próba 1: NIE	$p 01$	$p 00$

W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.

[edytuj] Liczebność duża

Jeżeli $n \geq {20}$ , to wyznaczamy statystykę z o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:

$z = \frac{b - c}{\sqrt{b + c}}$ lub $z=\frac{p_{10}-p_{01}}{\sqrt{\frac{p_{10}+p_{01}}{n}}}$

albo $z = \frac{a - d}{\sqrt{a + d}}$ lub też $z=\frac{p_{11}-p_{00}}{\sqrt{\frac{p_{11}+p_{00}}{n}}}$

(stosujemy dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych). Wartość statystyki $z$ porównujemy z wartością $z k r y t$ wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.

[edytuj] Liczebność mała (test McNemara)

W tym przypadku hipotezy mają postać:

H0: $p 11 = p 10$ (proporcje w obu doświadczeniach są równe)

H1: $p_{11} \neq{p_{10}}$ (proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie)

Jeżeli $b + c > 10$ oraz zarówno $b > 5$ jak i $c > 5$ to można wykorzystać statystykę

$\chi^{2} =\frac{(b-c)^2}{b+c}$

Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że $b + c > 10$ , ale $b < 5$ lub $c < 5$ , należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:

$\chi^{2}=\frac {(|b-c|-1)^2}{b + c}$

Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności $α$ i $v = 1$ stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy H0, gdy $\chi^{2} > \chi^{2}_{kryt}$ ).

[edytuj] Testy dla wielu proporcji

Mamy tu $k$ prób o liczebnościach $n_{1},n_{2},\dots{n_{k}}$ . W i-tej próbie $m i$ elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa $p_{i}=\frac{m_{i}}{n_{i}}$ .

Testujemy hipotezy:

H0: $p_{1}= \dots= p_{k}$ (wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe)

H1: nie H0 (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się)

[edytuj] Próby niezależne

[edytuj] Test Fishera-Snedecora

Jeżeli wszystkie liczebności $n_{i}\geq {20}$ to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera –Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”

$\bar p=\frac{\sum_{i=1}^{k}{n_{i} p_{i}}}{\sum_{i=1}^{k}{n_{i}}}$

oraz $F=\frac{\sum_{i=1}^{k}{n_{i}(p_{i}-\bar p)^2}}{\sum_{i=1}^{k}{p_{i}(1-p_{i})}}\cdot\frac{k}{k-1}$

Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności $α$ oraz liczby stopni swobody $v 1 = k - 1$ i $v_{2} = \infty$ . Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy $F > F k r y t$ — odrzucamy hipotezę H0.

[edytuj] Próby zależne

Jeżeli mamy do czynienia z $k$ zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności $n$ każda (np. n osób jest poddawanych k razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są $n \geq 20$ , możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie:

H0: wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie

H1: wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki)

Niech $m i$ oznacza, jak poprzednio, ilość obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy $i= 1,2,\dots k$ , zaś $0 \leq m_i \leq n$ , natomiast $w j$ oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak - to znaczy $j=1,2,\dots n$ oraz $0\leq w_{j} \leq k$ .

Obliczamy statystykę

$\chi^{2} = \frac{ (k-1) \left[{k \sum_{i=1}^{k }{m_i^2} - \left(\sum_{i=1}^{k}{m_i}\right)^2}\right]}{k \sum_{j=1}^{n}{w_j}- \sum_{j=1}^{n}{w_j^2}}$

którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności $α$ i $v = k - 1$ stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.

[edytuj] Bibliografia

Tablice statystyczne

Fisher R.A., Yates F., Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Oliver and Boyd, Edinburgh 1963
Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972

Linki zewnętrzne

Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../t/e/s/Test_dla_proporcji.html"

Kategoria: Statystyka

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.