Raio de convergência

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Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da bola em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto $(a-R,a+R)\,$ , onde $a\,$ é centro da série e $R\,$ é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta $|x-a|<R\,$ . Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência $|x-a|=R\,$

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\,$ , onde $a_n\,$ são os coeficientes da série:

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\,$

Existe um forma alternativa que é: $R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\,$ , quando este limite existe.

[editar] Exemplos

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência $\left(R=1\right)\,$ .

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n\,$
$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}\,$
$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}\,$

A convergência na circunferência $R=1\,$ , no entanto, é diferente para cada caso:

$f(z)\,$ não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
$g(z)\,$ não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo $z\neq 1\,$ de módulo unitário pelo teste de Abel.
$h(z)\,$ converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}\,$ .

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}n! z^n\,$

Esta série não pode convegir para nenhum $z\neq 0\,$ pelo teste do termo geral, convergindo apenas para $z=0\,$

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Z^n}{n!}\,$

Neste caso, a série converge para todo z.

[editar] A fórmula de Hadamard

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\,$

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola $|Z-a|\leq r<R\,$ . Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto $Z\,$ tal que $|Z-a|>R\,$ .

Para mostrar a primeira parte, escolha $r<R\,$ . Escolha um $\varepsilon>0\,$ tal que $R^{-1}+\varepsilon<\rho^{-1}<r^{-1}\,$

Da definição de limite superior temos:

$|a_n|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon<\rho^{-1},~~n>N\,$ para algum $N\,$

Agora podemos estimar os termos da série:

$|a_n(Z-a)^n|\leq \rho^{-n}r^n=\left(\frac{\rho}{r}\right)^{-n},~~n>N\,$

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica $M_n=\left(\frac{\rho}{r}\right)^{-n}\,$ que é convergente.

Agora escolha um $Z\,$ tal que $|Z-a|>R\,$ . Escolha $\varepsilon\,$ tal que $R^{-1}-\varepsilon>|Z-a|^{-1}\,$ , da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência $\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\,$ tal que: