Série de Taylor

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Em matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da seguinte forma:

$T(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n$

A constante $a\,$ é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

[editar] Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência $R$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola $|x-a|\leq r<R\,$ .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

$R^{-1}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$

[editar] Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

A série de Taylor associada a uma função $f$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) é a série de potências dada por

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.$

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

[editar] Lista de série de Taylor de algumas funções comuns

Função exponencial e logaritmo natural:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Série geométrica:

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema binomial:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ e todo complexo } \alpha$

Funções trigonométricas:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. \mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

onde Bs são números de Bernoulli.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Funções hiperbólicas:

$\sin \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x$

$\cos \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x$

$\tan\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arcsen} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

$\mathrm{arctan} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Função W de Lambert:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}$

Categoria: Séries

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