Série de potências

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Em matemática, uma série de potências (de uma variável) é uma série infinita da forma

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

onde a_n representa o coeficiente do n-ésimo termo, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série é dita centrada en c). Esta série geralmente surge como uma série de Taylor de uma função.

Em muitas situações, c é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado série de Maclaurin. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.$

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

[editar] Exemplos

Qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potência em torno de um centro c, embora um ou mais coeficientes são iguais a zero. For exemplo, o polinômio $f (x) = x 2 + 2 x + 3$ pode ser escrito como a série de potência em torno de $c = 0$ como

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,$

ou em torno do centro $c = 1$ como

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,$

ou mesmo em torno de qualquer outro centro c.

Uma série geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,$

que é válida para $| x | < 1$ , é um dos exemplos mais importantes de séries de potência, assim como a fórmula da função exponencial

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$

e a fórmula do seno

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$

válida para todo real x.

Essas séries de potências são também exemplos de séries de Taylor. Entretanto, existem séries de potências que não são séries de Taylor de uma função qualquer, tal como

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.$

Potências negativas não são permitidas em uma série de potências, por exemplo $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ não é considera uma série de potência (embora seja uma série de Laurent). Similarmente, potênicias fracionais, tais como $x 1 / 2$ , não são consideradas séries de potências (veja série de Puiseux).

[editar] Raio de convergência

Uma série de potência irá convirgir para alguns valores conforme os valores tomados da variável x, e pode divergir para outros. Sempre há um número r com 0 ≤ r ≤ ∞ tal que a série converge quando |x − c| < r e diverge para |x − c| > r. O número r é chamado de raio de convergência da série de potências; em geral ele é dada como