Алгебра Ли
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Содержание |
[править] Определение
Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется унитарный k- модуль над коммутативным кольцом k с единицей, если он снабжён билинейным отображением
2 →
→[x,y], и это отображение удовлетворяет следующим двум аксиомам:
1)[x,x] = 0;
2)[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0;
[править] Замечания
- Непосредственным следствием из аксиомы 1 является антикоммутативность. Вторую аксиому называют тождеством Якоби.
- Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
- Лиева алгебра
называется коммутативной, если
.
- Особенно интересен случай, когда k— поле, а
— векторное пространство.
[править] Источники примеров алгебр Ли
[править] Множество всех дифференцирований любой k-алгебры
Множество всех дифференцирований любой k - алгебры является лиевой алгеброй с операцией [D1,D2] = D1
2 — D2
1.
Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида adx:y→.
Они образуют в подалгебру
и отображение x→adx является гомоморфизмом
→
, называемым присоединённым представлением лиевой алгебры
. Его образ
изоморфен факторалгебре алгебры
по её центру
.
[править] Ассоциативные алгебры над k и умножение в k - модуле
Положим - ассоциативная алгебра над k с умножением: (x,y) → xy. Тогда умножение в k - модуле
, задаваемое следующим правилом: (x,y)→[x,y] = xy − yx, наделяет
структурой лиевой алгебры над k.