Волновая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Волнова́я фу́нкция (функция состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния.

Содержание

1 Физический смысл квадрата модуля волновой функции
2 Свойства волновой функции
3 Матричная и векторная формулировки
4 Философский смысл волновой функции
5 См. также

[править] Физический смысл квадрата модуля волновой функции

Волновая функция

$\! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n)$

зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля

$\! \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n)\right|^2$

представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами

$\! x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n}$ .

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плостность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями

$\! \Psi_1$ и $\! \Psi_2$ ,

то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

$\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$

при любых комплексных

$\! c_1$ и $\! c_2$ .

[править] Свойства волновой функции

Отметим свойства волновой функции $\! \Psi$ в частном случае трёхмерного пространства в декартовых координатах. В этом случае $\! \Psi$ зависит от трёх переменных $\! x, y, z$ и имеет следующие свойства :

1. Импульс частицы в каждом из направлений $\! x, y, z$ пропорционален первой производной волновой функции, делённой на саму волновую функцию, а именно

${p}_x = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial x} / \Psi ;$ $\! {p}_y = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial y} / \Psi ;$ ${p}_z = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial z} / \Psi ,$

где $\! {p}_x , \, {p}_y , \, {p}_z$ — импульсы, $i = \sqrt -1 ,$ $\hbar = {h \over 2 \pi}$ .

2. Кинетическая энергия частицы $( {p}_x^2 + {p}_y^2 + {p}_z^2 ) / 2 m$ пропорциональна второй производной, или кривизне волновой функции, деленной на саму волновую функцию

${E}_K = - {{\hbar}^2 \over 2 m } \left( {{\partial}^2 \Psi \over\partial x^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial y^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial z^2} \right) / \Psi$ .

3. Абсолютная величина квадрата функции $\left| {\Psi}^2 \right|$ (то есть сумма возведённых отдельно в квадрат мнимой и действительной частей функции $\! \Psi$ ) равна вероятности нахождения частицы в точке с координатами $\! ( x, y, z )$ . Это свойство противоречит законам классической механики, в которой положение частиц в данный момент времени фиксировано. Одно из мнимых ограничений квантовой механики состоит в том, что она с достоверностью определяет лишь время (или, точнее говоря, вероятность) нахождения частицы в данном положении $\! ( x, y, z )$ . В квазиклассическом пределе $\hbar \to 0$ волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.

[править] Матричная и векторная формулировки

Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.

Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.

Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.

[править] Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы. Если в классической механике полное описание системы заключалось в задании местоположений и скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции и только на уровне волновой функции возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит волновая функция.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования, есть ли бильярдные шары предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

[править] См. также

Это незавершённая статья по физике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по физике | Квантовая механика

Волновая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Физический смысл квадрата модуля волновой функции

[править] Свойства волновой функции

[править] Матричная и векторная формулировки

[править] Философский смысл волновой функции

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках