Выборочная функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

[править] Определение

Пусть $X_1,\ldots, X_n,\ldots$ - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F (x)$ . Будем считать, что $X_i,\; i\in \mathbb{N}$ - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов $Ω$ . Пусть $x \in \mathbb{R}$ . Определим случайную величину $\hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R}$ следующим образом:

$\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}}$ ,

где $\mathbf{1}_A$ - индикатор события $A$ . Таким образом выборочная функция распределения в точке $x$ равна количеству элементов выборки, не превосходящих значение $x$ . Случайная величина $\hat{F}(x)$ называется выборочной функцией распределения выборки $X_1,\ldots,X_n$ .

[править] Основные свойства

Пусть зафиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$ . Тогда $\hat{F}(x,\omega)$ является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:

$p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n$ ,

где $x i = X i (ω)$ , а $N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}}$ - количество элементов выборки, равных $x$ . В частности, если все элементы выборки различны, то $N_{x_i} = 1,\; \forall i$ .

Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

$\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega)$ .

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

Случайная величина $n \hat{F}(x)$ имеет биномиальное распределение:

$n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x))$ .

Выборочная функция распределения $\hat{F}(x)$ является несмещённой оценкой функции распределения $F (x)$ :

$\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x)$ .

Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:

$\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}$ .

Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:

$\hat{F}(x) \to F(x)$ почти наверное при $n \to \infty$ .

Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если $0<F(x)<1,\; \forall x \in \mathbb{R}$ , то