Многомерное нормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей - это обобщение одномерного нормального распределения.

[править] Определения

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ имеет нормальное распределение.
Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}$ , вещественный вектор $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_m)^{\top}$ и матрица $\mathbf{A}$ размерности $n \times m$ , такие что:

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}$ .

Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$ , такие что плотность вероятности вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ ,

где $\vert \Sigma\vert$ - определитель матрицы $Σ$ , а $Σ - 1$ - матрица обратная к $Σ$ .

Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$ , такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$ .

[править] Замечания

Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
Вектор $\mathbf{\mu}$ является вектором средних значений $\mathbf{X}$ , а $Σ$ - его ковариационная матрица.
В случае $n = 1$ , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
Если случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет многомерное нормальное распределение, то пишут $\mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)$ .

[править] Свойства многомерного нормального распределения

Если вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты $X_i, i=1,\ldots, n,$ имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
Если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций $Σ$ такого вектора диагональна.
Если $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты $X_i,\; i = 1 , \ldots, n$ имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть

X ˜N(0,1)

, а $\alpha = \pm 1$ с равными вероятностями. Тогда

Y = α X ˜N(0,1)

, и корреляция

X

Y

равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если $\mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)$ , а $\mathbf{A}$ - произвольная матрица размерности $m \times n$ , то

$\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное