Hyperbolisk funktion

Wikipedia

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket bland annat märks i deras namn:

sinus hyperbolicus (sinh)
cosinus hyperbolicus (cosh)
tangens hyperbolicus (tanh)
secans hyperbolicus (sech)
cosecans hyperbolicus (csch)
cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definitionerna är som följer:

$\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} 2$
$\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} 2$
$\tanh x = \frac {\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
$\operatorname{sech}(x) = \frac 1 {\cosh x} = \frac 2 {e^x + e^{-x}}$
$\operatorname{csch}(x) = \frac 1 {\sinh x}=\frac 2 {e^x - e^{-x}}$
$\coth x = \frac 1 {\tanh x}=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Om man jämför med Eulers formler, så ser man att definitionen för cosh och cos endast skiljer sig i att man för cos ska multiplicera vinkeln med komplexa enheten i; liknande gäller för sin och sinh. Rent formellt gäller

$\cosh(x)=\cos(ix), \qquad \cosh(ix)=\cos(x)$
$\sinh(x)=-i\sin(ix), \qquad \sinh(ix) = i\sin(x)$

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande, och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

[redigera] Taylorserie

Utveckling av de trigonometriska formlerna i en taylorserie görs lätt för sinh och cosh genom att betrakta serieutvecklingen av exponentialfunktionen:

$\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \qquad \cosh(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

[redigera] Identiteter

Motsvarigheten till trigonometriska ettan:

cosh² x – sinh² x = 1

sinh är udda, cosh är jämn:

cosh(-x)=cosh x

sinh(-x)=–sinh x

Summor:

sinh ( z₁ + z₂ ) = sinh z₁ · cosh z₂ + sinh z₂ · cosh z₁
sinh ( z₁ – z₂ ) = sinh z₁ · cosh z₂ – sinh z₂ · cosh z₁
cosh ( z₁ + z₂ ) = cosh z₁ · cosh z₂ + sinh z₁ · sinh z₂
cosh ( z₁ – z₂ ) = cosh z₁ · cosh z₂ – sinh z₁ · sinh z₂

[redigera] Inversa funktioner

Liksom de trigonometriska funktionerna har arcus-funktioner som inverser, så benämns med "arcus hyperbolicus" de inversa funktionerna till de hyperboliska funktionerna. Dock kan varje sådan arcus hyperbolicus-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

$\operatorname{arcsinh} x = \ln(x+\sqrt {x^2+1})$
$\operatorname{arccosh} x = \ln(x+\sqrt {x^2-1})$
$\operatorname{arctanh} x = \frac 1 2\cdot \ln\frac {1+x} {1-x})$

Speciellt kan märkas att arcsinh är (entydigt) definierad för hela $\mathbb R$ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.