Logaritm

Wikipedia

Logaritmen för ett tal (a) är den exponent (x) som man måste upphöja ett givet tal (basen b) till för att få a,

a = b x .

Innehåll

1 Reella logaritmen
2 Tiologaritmen eller briggska logaritmen
3 Naturliga logaritmen (logaritmus naturalis)
- 3.1 Se vidare
4 Diskreta logaritmen
5 Derivata
6 Logaritmlagarna
7 Exempel
- 7.1 Exempel (reella logaritmen)
- 7.2 Exempel (diskreta logaritmen)
8 Antilogaritm

[redigera] Reella logaritmen

För reella tal måste a > 0 och b > 0. Däremot kan logaritmen x anta godtyckligt värde i intervallet (-∞, ∞). Om $a = b x$ kallas x logaritmen av a i basen b och man skriver $x = log b a .$

Dessa logaritmer infördes av skotten John Napier på 1600-talet.

[redigera] Tiologaritmen eller briggska logaritmen

graf av tiologaritmen

Ett praktiskt val av bas är den briggska logaritmen (10-logaritmen): den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a:

$a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a$ .

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

Medan denna logaritm har vissa trevliga egenskaper, som till exempel att den är relativt lätt att förstå och att den relaterar antalet siffror ett givet tal behöver när det skrivs, har den vissa matematiska brister. Därför använder man oftast istället naturliga logaritmen, åtminstone i mer matematiska sammanhang.

[redigera] Naturliga logaritmen (logaritmus naturalis)

En speciell bas är e, basen för den naturliga logaritmen. Beteckningen för $\log_e\, a$ är $\ln \,a$ .

Detta ger sambanden

$a = e^x \Leftrightarrow x = \ln a.$

En viktig anledning till man använder denna logaritm är att den är invers operation till exponentialfunktionen $e x$ .

En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/x. Detta gör att den fyller ut en lucka bland de primitiva funktionerna till potensfunktioner:

$\int x^n dx=$ $\left\{\begin{matrix}\frac {x^{n+1}} {n+1} +C & \mbox{om }n\ne -1\\ \ln x+C& \mbox{om }n=-1 \end{matrix}\right.$

Det är inte förvånande att något måste hända när $n = - 1$ eftersom man då i övriga fall delar med noll, vilket är otillåtet. Vad som händer är också naturligt, i ljuset av att, för varje annat tal nära $- 1$ kommer "första primitiva funktionen" att vara godtyckligt nära $ln(x)$ . Därför kan logaritmen ses som en kontinuerlig utvidgning av polynomen, ett faktum som även kan motiveras genom betrakta vissa speciella gränsfall av interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).

[redigera] Se vidare

Definitionen av den naturliga logaritmens bas talet e.

[redigera] Diskreta logaritmen

På samma sätt som ovan kan man definiera en logaritm i en godtycklig kropp. Det är då ett väldefinierat begrepp eftersom en kropp under multiplikation (andra kompositionsoperatorn) är isomorf med en cyklisk undergrupp. Utvidgningen är helt analog med reella logaritmer. När man bekantat sig med den känns den också ganska naturlig att räkna med. Skillnaden mellan reella logaritmer och diskreta logaritmer är att diskreta logaritmen blir alltid ett heltal. I övrigt har diskreta och reella logaritmen likartade lagar och följer ungefärligen samma teori.

Till skillnad från vanliga (reella) logaritmer är det generellt sett svårt att hitta logaritmen för ett givet tal. Man kallar detta diskreta logaritmproblemet. Faktum är att det är så svårt, att man använder denna svårighet för att konstruera säker kryptering. Poängen är att det är lätt att verifiera en föreslagen logaritm, men svårt att finna den. Metoden påminner om hur man i krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet med finna primtalsfaktorisering av stora tal.

[redigera] Derivata

Derivatan av en logaritmfunktion

$y = \log_b\,x$

är

$\frac{dy}{dx} = \frac 1 {x \ln b}.$

Speciellt är $D(\ln x)=\frac 1 x$ (se ovan).

[redigera] Logaritmlagarna

$\log_a(xy) = \log_a(x)\,+\,\log_a(y)$

$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x)-\log_a(y)$

$\log_a(x^p)=p\,\log_a(x)$

$\log_a x=\frac {\log_b x}{\log_b a}$

[redigera] Exempel

Logaritmernas ursprungliga främsta förtjänst var att de gjorde om tidödande långa multiplikationer till snabba mindre tidsödande additioner. Säg att vi ska beräkna talet $2 \cdot 5$ utan att använda multiplikation. Då kan man göra så här.

Beräkna $\log (2) \approx 0,30103$ , $\log (5) \approx 0,69897$ och lägg ihop dem. $\log(2) + \log(5) \approx 1,00000$ . Å andra sidan vet vi genom logaritmlagarna att summan blir $\log(2) + \log(5) = \log(2 \cdot 5)$ . Om vi nu tar reda på vilket tal som har logaritm $1,00000$ har vi beräknat produkten, utan att utföra någon multiplikation. Svaret här är, naturligtvis, 10.

I datorernas ålder har denna användning i stort sett försvunnit, men andra mer teoretiska aspekter av logaritmen används i minst lika hög grad idag.

[redigera] Exempel (reella logaritmen)

Såhär kan man använda logaritmerna för att lösa vissa ekvationer. Säg att vi vill finna $x$ i ekvationen $10 x = 1000$ . Ett enkelt sätt är att inse att $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ , d.v.s. att lösningen är alltså $x = 3$ . Ett annat sätt utnyttjar logaritmer:

Tag 10-logaritmen av båda sidor.

log(10 x) = log(1000)

Utnyttja logaritm-lagarna.

$x \cdot \log(10) = \log (1000)$

Slå $log(10)$ och $log(1000)$ på miniräknaren. Då får man $log(10) = 1$ och $log(1000) = 3$ , alltså har vi ekvationen $x \cdot 1 = 3$ . Lösningen är alltså $x = 3$ , precis som vi kom fram till tidigare. Skillnaden är att vi använt logaritmer för att lösa den, medan vi tidigare "såg" lösningen. Fördelen med logaritm-lösningen är att den fungerar även om vi har en ekvation som $10 x = 1234$ , som inte har en heltalslösning (enligt Gelfond–Schneiders sats kommer lösningen dessutom att vara transcendent, d.v.s. ungefärligen, kommer lösningen att vara så långt från ett heltal som möjligt).

[redigera] Exempel (diskreta logaritmen)

På samma sätt som ovan kan man använda diskreta logaritmer för att lösa ekvationer i godtyckliga kroppar. Här visas hur man bestämmer diskreta logaritmer i en given kropp.

För exemplets skull, kommer vi att betrakta Galois-kroppen av ordning 27, $G F (3 3)$ . Vi noterar att den inte är isomorf med till exempel $\mathbb{Z}_{27}$ . (Den är inte en kropp exempelvis därför att den har nolldelare – betraktar man kroppar isomorfa med $\mathbb{Z}_p$ där $p = primtal$ kan resonemanget förenklas ganska mycket.) Vidare genereras den av ett kubiskt irreducibelt polynom över $\mathbb{Z}_3$ via Kroneckers konstruktion. Ett sådant irreducibelt polynom är $x 3 + 2 x + 1$ vilket inses genom att manuellt undersöka de möjliga rötterna eller kanske enklare genom att använda Fermats lilla sats. Därmed har vi en kropp $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ med 27 element som kommer att vara isomorf med $G F (27)$ . I den kan man nu beräkna diskreta logaritmer.

Låt oss här återge stegen vi tagit lite mer detaljerat. Vi har hittat ett irreducibelt polynom över $\mathbb{Z}_3$ . Då kommer $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ att bli

en kropp, som
genereras av ett principalt ideal.

Det förklarar man så här. Dels är $\mathbb{Z}_3$ en kropp och därför är varje ideal i $\mathbb{Z}_3[x]$ principalt. Dels är polynomet $x 3 + 2 x + 1$ irreducibelt. Därför är $< x 3 + 2 x + 1 >$ ett maximalt ideal. Och därför är kvotringen $\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1>$ inte bara en kvotring, utan en kropp.

Låt oss ta reda på vad elementet/sidoklassen $x 2 + 1$ har för diskret logaritm. Genom att successivt beräkna potenser $x^n, n = 0, 1, \ldots, 26$ fås att första gången $x n = x 2 + 1$ är när $n = 21$ . En sådan lista ser ut ungefär så här:

$n = 0$ , $x 0 = 1$
$n = 1$ , $x 1 = x$
$n = 2$ , $x 2 = x 2$
$n = 3$ , $x 3 = x + 2$
$n = 4$ , $x 4 = x 2 + 2 x$
$n = 5$ , $x 5 = 2 x 2 + x + 2$
$n = 6$ , $x 6 = x 2 + x + 1$
$\ldots$
$n = 21$ , $x 21 = x 2 + 1$

Därför är $log x (x 2 + 1) = 21$ . Notera att man vart tvungen gå igenom en massa exponenter $n = 0, 1, \ldots$ för att hitta den vi sökte. Det finns bättre algoritmer för att hitta diskreta logaritmen. Men även med dem är det generellt en tidsödande process, eftersom man kan konstruera kroppar av mycket hög ordning.

[redigera] Antilogaritm

Antilogaritmen är ett annat namn för potens. Även om termen visserligen används är det ett inte helt lyckat bruk, eftersom potens är konventionen.