Taylorserie

Wikipedia

När graden av Taylorutvecklingen stiger, närmar den sig den rätta funktionen. Bilden visar sin(x) och Taylorapproximationer, polynom av grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 och 13.

Inom matematiken är en Taylorutveckling (eller Taylorserie), efter Brook Taylor, av en oändligt många gånger deriverbar reell (eller komplex) funktion f, definierad på ett öppet intervall (a − r, a + r), en potensserie

$T(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.$

Här är n! fakulteten av n och f ⁽ⁿ⁾(a) betecknar den n:te derivatan av f i punkten a.

Om a = 0 så kallas utvecklingen även för en Maclaurinutveckling.

Taylorutvecklingar är speciellt använbara då vissa funktioner, som till exempel de trigonometriska eller logaritmen, vilka normalt är svåra att evaluera, kan approximeras med godtycklig noggranhet av deras trunkerade Taylorutvecklingar på ett visst intervall.

[redigera] Egenkaper

Om Taylorutvecklingen för en funktion konvergerar för varje x i intervallet (a − r, a + r) och om summan är lika med f(x), så är funktionen f(x) analytisk på intervallet. För att kontrollera om serien konvergerar mot f(x), så använder man i normalfallet uppskattningar av resttermen som anges i Taylors sats. En funktion är analytisk omm den kan skrivas som en potensserie; koefficienterna i denna potensserie är då nödvändigtvis de som ges i Taylorutvecklingen ovan. Det finns dock funktioner som saknar Taylorutveckling men som ändå är analytiska.

Betydelsen av sådana potensserier ligger i tre punkter. För det första sker derivering och integrering av potensserier term för term och är därmed speciellt lätt. För det andra kan en analytisk funktion på ett unikt sätt utvidgas till en holomorf funktion som definieras på en öppen skiva i det komplexa talplanet, vilket gör att hela maskineriet från den komplexa analysen blir tillgänglig. Och för det tredje kan en trunkerad Taylorutveckling användas för att beräkna approximationer av funktionsvärden.

Funktionen f(x)=e^-1/x² om x ≠ 0; f(0)=0 är inte analytisk: Taylorutvecklingn är 0, fastän själva funktionen inte är det.

Observera dock att det finns exempel på oändligt deriverbara funktioner f(x) vars Taylorutveckling konvergerar, men som inte konvergerar mot f(x). Till exempel, för den funktion f(x) som definieras genom f(x) = exp(−1/x²) if x ≠ 0 och f(0) = 0, är alla derivator noll i punkten x=0, så Taylorutvecklingn av f(x) är noll, och dess konvergensradie är oändlig, fastän funktionen sannerligen inte är noll. Om man betraktar denna funktion som en komplexvärd funktion, av en komplex variabel, uppstår inte samma fenomen eftersom funktionen exp(−1/z²) inte går mot 0 då z närmar sig 0 längs den imaginära axeln.

Vissa funktioner kan inte skrivas som Taylorutvecklingr eftersom de har singulariteter. Däremot kan man ofta uttrycka dessa funktioner som potensserier om man godtar negativa potenser av x. Se vidare om Laurentserier.

Parker-Sockackis sats är ett nytt framsteg i försöken att konstruera Taylorutvecklingr som lösningar till differentialekvationer. Denna sats är en utvidgning av Picarditerationen.

[redigera] Taylorutveckling i flera variabler

Taylorutvecklingar går att generalisera till flera variabler:

$T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$

Till exempel är Taylorutvecklingen till andra ordningen av en funktion av två variabler , x och y i en punkt (a, b):

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,$

$+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).$

En andra ordningens taylorutveckling av en skalär-värd funktion av flera variabler kan skrivas kompakt som

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

där $\nabla f(\mathbf{a})$ är gradienten och $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ är Hess-matrisen (icke att förväxla med Laplaceoperatorn verkande på $f$ , som ofta skrivs på detta vis).

[redigera] Lista över Taylorutvecklingar

Några viktiga Taylorutvecklingar följer. Alla dessa gäller även för komplexa variabler x.

Exponentialfunktionen och naturliga logaritmen:

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, \quad \forall x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n,\quad \left| x \right| < 1$

Geometriska serier:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n,\quad \left| x \right| < 1$

Binomialsatsen:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n,\quad \left| x \right| < 1,\quad\forall \alpha \in C$

Trigonometriska funktioner:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1},\quad\forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n},\quad\forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\quad \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1},\quad \left| x \right| < 1$

Hyperboliska funktioner:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1},\quad\forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n},\quad\forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\quad \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1},\quad \left| x \right| < 1$

Lamberts W-funktion:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n,\quad \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Talen B_k som dyker upp i uttrycken för tan(x) och tanh(x) är Bernoullital. Binomialutvecklingen använder binomialkoefficienter. E_k i utvecklingen av sec(x) är Eulertal.

[redigera] Historia

Taylorutvecklingarna, potensserierna, och serieutvecklingarna av fuktioner upptäcktes först av den indiske matematikern Madhava på 1300-talet. Han upptäckte en mängd specialfall av Taylorutvecklingarna för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangens samt arcustangens.

På 1600-talet arbetade även matematikern och astronomen James Gregory inom detta område och utgav flera Maclaurinutvecklingar, men det var inte förrän 1715 som Brook Taylor fann den allmänna metoden för att konstruera Taylorutvecklingar för de funktioner som har dem. Maclaurinseriena har namngetss efter Colin Maclaurin, en professor från Edinburgh, som publicerade specialfallet på 1600-talet.

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../t/a/y/Taylorserie.html

Kategorier: Matematisk analys | Matematiska serier