Talteori
Wikipedia
Traditionellt är talteorien den gren inom matematiken som rör heltalens egenskaper. Mer allmänt har talteorin kommit att omfatta en vidare typ av problem, som "lätt förstås av icke-matematiker" och därför blivit en vedertagen teknik för att angripa olika sorters problem. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och spörsmålen som undersöks.
Innehåll |
[redigera] Typer av talteori
[redigera] Elementär talteori
I elementär talteori studeras heltalen utan användning av någon av teknikerna från de andra matematikområdena. Frågor om delbarhet, Euklides algoritm för att beräkna största gemensamma delaren, faktorisering av heltalen i primtal , undersökning av perfekta tal och kongruenser hör hemma här. Typiska teorem är Fermats lilla sats, Eulers sats, den kinesiska restsatsen och kvadratiska reciprocitetssatsen.
Undersökning av egenskaperna hos aritmetiska funktioner såsom Möbius funktion och Eulers φ-funktion samt heltalsföljder såsom fakulteter och Fibonaccital ingår också.
Många frågor inom den elementära talteorin är exceptionellt djupa och kräver helt nya angreppssätt. Några exempel är
- Goldbachs förmodan som rör jämna heltal som är summan av två primtal
- Catalans förmodan rörande heltalsdigniteter i följd
- Primtalstvillingsförmodan om antalet primtalstvillingar
- Collatz förmodan om enkel iteration
- diofantiska ekvationer som till och med har visat sig "olösbara". Se även Hilberts tionde problem.
[redigera] Analytisk talteori
Analytisk talteori använder mekanismer som analys och komplex analys för att tackla frågor rörande heltal. Exempel är Primtalssatsen och den relaterade Riemannhypotesen. Warings problem, att ett givet heltal representerar en summa av kvadrater, kuber etc., primtalstvillingsantagandet, för att hitta oändligt många primtalspar med skillnaden 2, och Goldbachs antagande, som antyder att jämna heltal är summan av två primtal, angrips också med analytiska metoder.
Bevis för att vissa matematiska konstanter såsom π och e är transcendenta, tillhör också analytisk talteori. Utsagor om transcendenta tal tycks ha flyttat från studiet av heltal. Å andra sidan studerar man möjliga värden från polynom med heltalskoefficienter för till exempel e, vilket är tätt kopplat till området Diofantisk approximation.
[redigera] Algebraisk talteori
I algebraisk talteori utökas begreppet tal att också omfatta algebraiska tal, vilka är rötter till polynom med koefficienter som är rationella tal. Denna domän innehåller element som är analoga med heltal, s.k. algebraiska heltal. I denna tappning behöver inte familjära egenskaper, som till exempel unik faktorisering, fortfarande gälla. Fördelen med de mekanismer som används, Galoisteori, representationsteori, gruppkohomologi, klasskroppsteori och L-funktioner, är att de tillåter att återfå ordningen delvis för denna nya typ av tal.
Ett stort antal teoretiska frågeställningar attackeras bäst genom att studera "modulo p" för alla primtal "p". Se ändliga kroppar. Detta kallas localization och leder fram till konstruktionen av p-adiska tal. Denna typ av studier, som uppstått ur algebraisk talteori, kallas local analysis.
[redigera] Geometrisk talteori
Geometrisk talteori omfattar alla former av geometri. Den inleds med Minkowskis sats som avhandlar gitterpunkter i konvexa uppsättningar och undersökningar av sfärpackningar. Man kan här även tillämpa algebraisk geometri, speciellt teorin bakom elliptiska kurvor. Fermats stora sats har bevisats med hjälp av dessa tekniker.
[redigera] Probabilistisk talteori
[redigera] Algoritmisk talteori
Inom detta område studeras relevanta algoritmer inom talteori. Snabba algoritmer för primtalstest och heltalsfaktorisering har utbredd tillämpning inom kryptografi.