Zahlentheorie

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Ursprünglich ist die Zahlentheorie (auch: Arithmetik) ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich allgemein mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und insbesondere mit den Lösungen von Gleichungen in den ganzen Zahlen (Diophantische Gleichung) beschäftigt. Aus moderner Sicht umfasst sie alle mathematischen Theorien, die sich historisch aus diesen Fragestellungen entwickelt haben.

[Bearbeiten] Teilgebiete

Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden, nach denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden.

[Bearbeiten] Elementare Zahlentheorie

Von der Antike bis in das siebzehnte Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der ganzen Zahlen, insbesondere Primfaktorzerlegung (Fundamentalsatz der Arithmetik), Teilbarkeit und das Rechnen mit Kongruenzen. Eine solche reine Herangehensweise wird auch als elementare Zahlentheorie bezeichnet. Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung, der Satz von Euler, der Chinesische Restsatz, der Satz von Wilson und der Euklidische Algorithmus.

[Bearbeiten] Analytische Zahlentheorie

Als erster bemerkte Euler, dass man Methoden der Analysis und Funktionentheorie benutzen konnte, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von Primzahlen und der Asymptotik, wie zum Beispiel der Primzahlsatz von Gauß und der dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Daneben dienten analytische Methoden auch dazu, die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π oder der eulerschen Zahl e nachzuweisen. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz tauchten auch die Zeta-Funktionen zuerst auf, die heute Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung sind. Die wohl berühmteste Zeta-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion, Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung.

[Bearbeiten] Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie

Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Es zeigte, dass man Fragen der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen in den ganzen Zahlen durch den Übergang zu anderen Zahlbereichen einfacher lösen kann (quadratische Zahlkörper, gaußsche Zahlen). Hierzu betrachtet man endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen, sogenannte algebraische Zahlkörper (woher auch der Name algebraische Zahlentheorie entstammt). Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen. Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in wenigen Zahlkörpern der Klassenzahl 1. Allerdings sind Ganzheitsringe Dedekindringe und jedes gebrochene Ideal besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in Primideale. Die Analyse dieser algebraischen Zahlkörper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik, insbesondere der Algebra, Topologie, Analysis, Funktionentheorie (insbesondere der Theorie der Modulformen), Geometrie und Darstellungstheorie. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen »globale Körper« zusammengefasst. Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen »lokal«, d.h. für jede Primzahl p einzeln zu betrachten. Dieser Vorgang führt im Fall der ganzen Zahlen zu den p-adischen Zahlen, allgemein zu lokalen Körpern.

Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie ist die Sprache der homologischen Algebra und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der Kohomologie, Homotopie und der abgeleiteten Funktoren unerlässlich. Höhepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die Klassenkörpertheorie und die Iwasawa-Theorie.

Nach der Neuformulierung der algebraischen Geometrie durch Grothendieck und insbesondere nach Einführung der Schemata stellte es sich (in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts) heraus, dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann. Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet, in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt.

Zu jedem Zahlkörper gehört eine Zeta-Funktion, deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Für endliche Körper ist ihre Aussage in den berühmten Weil-Vermutungen enthalten und wurde von Pierre Deligne mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst, wofür er 1978 die Fields-Medaille bekam.

[Bearbeiten] Algorithmische Zahlentheorie

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können. Wichtige Fragestellungen sind, ob eine große Zahl prim ist, die Faktorisierung großer Zahlen und der eng damit verbundenen Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus. Außerdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen, Kohomologiegruppen und der K-Theorie algebraischer Zahlkörper.

[Bearbeiten] Anwendungen der Zahlentheorie

Anwendungen der Zahlentheorie finden sich in der Kryptographie, insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet. Hierbei finden sowohl elementare Methoden der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung, etwa bei RSA oder ElGamal), als auch fortgeschrittene Methoden der algebraischen Zahlentheorie, wie etwa die Verschlüsselung über elliptische Kurven (ECC) breite Anwendung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Codierungstheorie, die sich in ihrer modernen Form auf die Theorie der algebraischen Funktionenkörper stützt.

[Bearbeiten] Historische Entwicklung

[Bearbeiten] Zahlentheorie in der Antike und im Mittelalter

Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die Babylonier und Ägypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner einer Million, die Quadratzahlen sowie einige pythagoräische Tripel.

Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v. Chr. im antiken Griechenland. Herausragendster Vertreter ist Euklid (ca. 300 v. Chr.), der die von Pythagoras erfundene Methode des mathematischen Beweises in die Zahlentheorie einführte. Sein berühmtestes Werk, Euklids Elemente, wurde bis in das achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch für Geometrie und Zahlentheorie verwendet. Die Bände 7, 8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen, unter anderem der Definition der Primzahl, einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (Euklidischer Algorithmus) und dem Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid).

Im Jahre 250 v. Chr. beschäftigte sich der griechische Mathematiker Diophant zuerst mit den gleichnamigen Gleichungen, die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Fälle zu reduzieren versuchte und tatsächlich einige einfache Gleichungen löste. Diophants Hauptwerk ist die Arithmetica.

Die Griechen warfen viele wichtige arithmetische Fragestellungen auf, die zum Teil bis heute ungelöst sind, wie z.B. das Problem der Primzahlzwillinge, der vollkommenen Zahlen oder der Dreieckszahlen (wobei letzteres von J.B. Tunnel unter Annahme einer schwachen Form der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer als nahezu gelöst betrachtet werden kann) oder deren Lösung viele Jahrtausende in Anspruch nahm und die exemplarisch für die Entwicklung der Zahlentheorie stehen.

Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blütezeit der Zahlentheorie in Europa. Aus dieser Zeit ist nur der Name des Leonardo di Pisa (ca. 1200 n. Chr.) (Fibonacci) nennenswert, der sich neben Zahlenfolgen und der Auflösung von Gleichungen durch Radikale auch mit diophantischen Gleichungen befasste. Am Ende des Mittelalters trat Marin Mersenne in Erscheinung, der die Mersenne-Primzahlen entdeckte.

[Bearbeiten] Zahlentheorie in der frühen Neuzeit

Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war Pierre de Fermat (1607–1665). Er bewies den kleinen Satz von Fermat, untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des unendlichen Abstiegs, mit der er den von ihm aufgestellten großen Satz von Fermat im Falle $n = 4$ lösen konnte. Die allgemeine Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die Moderne.

Das achtzehnte Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht: Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) und Adrien-Marie Legendre (1752–1833).

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Er erfand die zahlentheoretischen Funktionen, insbesondere die eulersche Phifunktion, untersuchte Partitionen und betrachtet hundert Jahre vor Bernhard Riemann bereits die riemannsche Zeta-Funktion. Er entdeckte das quadratische Reziprozitätsgesetz, konnte es aber nicht beweisen, zeigte, dass die eulersche Zahl e irrational ist und löst den großen Satz von Fermat im Fall $n = 3$ .

Lagrange beweist den Satz von Wilson, begründet die systematische Theorie der pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen, die erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts ihren Abschluss finden wird.

Legendre führt das Legendre-Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form. Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, was erst 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wird.

Die nächste große Zäsur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bestimmt. Gauß gab als Erster zwei vollständige Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkörper, wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb. Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in $\mathbb{Z}[i]$ , den gaußschen Zahlen. Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskörper, d.h. die Lösungen der Gleichung $x p - 1 = 1$ und entwickelte das Kalkül der Gaußschen Summen, welches bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den gaußschen Primzahlsatz, konnte ihn allerdings bis zu seinem Tode nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbstständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist.

[Bearbeiten] Das neunzehnte Jahrhundert

Das neunzehnte Jahrhundert ist vor allem die Blütezeit der analytischen Zahlentheorie. Unter Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacobi (1804–1851), Gotthold Eisenstein (1823–1852) und Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) wird die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelt, die schließlich die Theorie der elliptischen Kurven auf ein völlig neues Fundament stellt. Dirichlet erfindet den Begriff der L-Reihe und beweist damit den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der Modulformen um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw. fünf Quadraten zu untersuchen. Der Einheitensatz von Dirichlet (der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat), ist heute eine der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie. Bernhard Riemann (1826–1866) entdeckte und bewies die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion und stellte tiefgreifende Vermutungen auf, die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten.

Für die gesamte Mathematik sehr bedeutsam, war das kurze Wirken des Evariste Galois (1811–1832), der die Galoistheorie entwickelte und damit viele alte Fragen, wie die Quadratur des Kreises, die Konstruktion von n-Ecken mittels Zirkel und Lineal und die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke klärte. Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle.

In der algebraischen Schule des neunzehnten Jahrhunderts sind vor allem Ernst Eduard Kummer (1810–1893) Leopold Kronecker (1823–1891), und Richard Dedekind (1831–1916) zu nennen. Diese begründeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra, insbesondere die Theorie der Gruppen, Ringe und Ideale, sowie der algebraische Zahlkörper. Kronecker führt den Begriff eines Divisors ein und entdeckt den heute Satz von Kronecker-Weber benannten Satz, wonach alle abelschen Erweiterungen in einem Kreisteilungskörper enthalten sind. Kummer bewies den großen Satz von Fermat für alle regulären Primzahlen und Dedekind zeigte die Existenz von Ganzheitsbasen in Zahlkörpern.

[Bearbeiten] Das zwanzigste Jahrhundert und die Moderne

Das zwanzigste Jahrhundert brachte der Zahlentheorie endlich einige Lösungen, nach denen sie so lange geforscht hatte, nämlich:

Die komplette Lösung des einfachsten (nicht-trivialen) Typs der Diophantischen Gleichung: der Quadratischen Form
Mit Klassenkörpertheorie und Iwasawatheorie eine keineswegs vollständige, aber strukturell befriedigende Beschreibung der abelschen und zyklischen Zahlkörper, die zu einem allgemeinen Reziprozitätsgesetz für beliebige Potenzreste führte, dem Artinschen Reziprozitätsgesetz.
Die (noch unbewiesene) Lösung des zweiteinfachsten Typs der Diophantischen Gleichung: den elliptischen Kurven

Bahnbrechend für die Zahlentheorie des zwanzigsten Jahrhunderts war die Entdeckung der p-adischen Zahlen durch Kurt Hensel. Aufbauend auf seinen Arbeiten konnten die Mathematiker Minkowski und Helmut Hasse das Problem der quadratischen Formen lösen: eine quadratische Form $f(x,y) \in \mathbb{Q}[X,Y]$ hat genau dann eine rationale Lösung $(x,y) \in \mathbb{Q}^2$ , wenn sie eine Lösung in jedem Körper $\mathbb{Q}_p$ besitzt. Dieser berühmte Satz von Hasse-Minkowski liefert damit ein erstes Beispiel für ein Lokal-Global-Prinzip, die für die moderne Zahlentheorie sehr wichtig werden.

Aufbauend auf den Arbeiten von Kummer, wird die Klassenkörpertheorie am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von einer ganzen Reihe von Mathematikern entwickelt. Unter ihnen sind vor allem David Hilbert, Helmut Hasse, Philipp Furtwängler, Teiji Takagi und Emil Artin zu nennen, wobei Takagi den wichtigen Existenzsatz bewies, aus welchem Artin sein berühmtes Reziprozitätsgesetz ableitet. Eine komplette Berechnung des Hilbertsymbols und damit die praktische Anwendung des Reziprozitätsgesetzes, gab jedoch erst der Mathematiker Helmut Brückner in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. In die moderne Sprache der Gruppenkohomologie, abstrakten harmonischen Analysis und Darstellungstheorie wurde die Klassenkörpertheorie von Mathematikern wie John Tate und Richard Langlands übersetzt. Langlands vermutete weitgehende Verallgemeinerungen der Klassenkörpertheorie und legte so den Grundstein für das Langlands-Programm, das ein wichtiger Teil der aktiven zahlentheoretischen Forschung ist.

Für zyklotomische Körper entwickelte schließlich Kenkichi Iwasawa die Iwasawatheorie, die diese Körper noch besser erklären konnte. Mit diesen Körpern werden gewisse p-adische L-Reihen verknüpft. Die Haupvermutung der Iwasawatheorie, die die verschiedenen Möglichkeiten diese L-Reihen zu definieren für äquivalent erklärt, wurde für total-reelle Zahlkörper von Berry Mazur und Andrew Wiles am Ende der achtziger Jahre bewiesen.

Auch im Bereich der elliptischen Kurven machten die Zahlentheoretiker große Fortschritte. Louis Joel Mordell untersuchte das Gruppengesetz von elliptischen Kurven und zeigte, dass die Gruppe der rationalen Punkte stets endlich erzeugt ist, eine einfache Version des Satzes von Modell-Weil. Carl-Ludwig Siegel konnte schließlich zeigen, dass jede elliptische Kurve nur endlich viele ganze Lösungen besitzt (Satz von Siegel). Damit war das Problem der ganzen und rationalen Punkte auf elliptischen Kurven angreifbar geworden.

Mordell vermutete, dass für Kurven des Geschlechts > 1 (welche keine elliptischen Kurven mehr sind) die Menge der rationalen Punkte immer endlich ist (Mordell-Vermutung). Dies bewies der deutsche Mathematiker Gerd Faltings, wofür er 1986 die Fields-Medaille bekam. Damit war gezeigt, dass der große Satz von Fermat höchstens endlich viele Lösungen haben konnte.

Einen großen Durchbruch bedeuteten die Arbeiten von B. Birch und H.P.F. Swinnerton-Dyer in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. Sie vermuteten, dass eine elliptische Kurve genau dann unendlich viele rationale Lösungen besitzt, wenn ihre L-Reihe am Punkt $s = 1$ einen Wert ungleich Null annimmt. Dies ist eine sehr schwache Form der sogenannten Birch und Swinnerton-Dyer Vermutung. Obwohl sie prinzipiell unbewiesen ist, gibt es starke theoretische und numerische Argumente für ihre Richtigkeit. In jüngster Zeit bewiesen Don Zagier und Benedikt H. Gross ihre Gültigkeit für eine Vielzahl elliptischer Kurven.

Nicht unerwähnt bleiben soll der Beweis des Modularitätssatzes, durch Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor im Jahre 2001, nachdem ihn Andrew Wiles zuvor schon für die meisten elliptischen Kurven bewiesen hatte (1995). Aus dem (von Wiles bewiesenen) Teil des Modularitätssatzes geht insbesondere hervor, dass der große Satz von Fermat wahr ist.

[Bearbeiten] Wichtige Zahlentheoretiker

[Bearbeiten] Siehe auch

Ungelöste Probleme der Mathematik

[Bearbeiten] Literatur

G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford University Press, Oxford 1979, 2004 (5.Aufl.). ISBN 0198531710
John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer, Berlin 1998. ISBN 0-387-97993-X
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1992. ISBN 3-540-542-736
J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-666-710
Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1995. ISBN 3-540-588-213
Arnold Scholz, Bruno Schoeneberg: Einführung in die Zahlentheorie. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1973 (5.Aufl.). ISBN 3-11-004423-4
Friedhelm Padberg: Elementare Zahlentheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin Heidelberg 1996, 2001. ISBN 3-86025-453-7

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../z/a/h/Zahlentheorie.html“

Kategorie: Zahlentheorie

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