Функція (в математиці)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Фу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці — це така відповідність між множинами, в якій кожному елементу з першої множини (області визначення) співставляється один і тільки один елемент з другої множини (можливо тої самої). Часто цю другу множину називають областю значень функції чи відображення (але в загальному випадку область значень є лише підмножиною цієї множини, тому тут слід бути обережним).

Відображення f, яке співставляє кожному елементу множини A єдиний елемент множини B позначається як f:A→B (тобто f відображує A в B).

Зміст 1 Інтуїтивне визначення 2 Формальне визначення 3 Області значень та визначення 4 Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції 5 Образ та прообраз 6 Графік функції 7 Композиція функцій 8 Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження 9 Обернена функція 10 Див. також

[ред.] Інтуїтивне визначення

Інтуїтивно, функція - це певне "правило", або "перетворення", яке співставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є "функцією особи", тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили - біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними - улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, якак тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті - в якості вихідного значення.

"Правило", яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне - значенням функції

Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x², яка співставляє кожному аргументу його квадрат.

В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.

Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття "функція" визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке співставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.

[ред.] Формальне визначення

Формально, функцією (відображенням, трансформацією) f множини X в множину Y (позначається f : X → Y) називається така відповідність між множинами X та Y, яка задовольняє наступним умовам:

1. Відповідність f всюди визначена, тобто, для будь-якого x з X існує такий y з Y, що x f y (y є образом x для функції f), тобто, для будь-якого x з X існує хоча б один образ y з Y.
2. Відповідність f є відповідністю багато-до-одного, або функціональною, тобто, якщо x f y та x f z, то y = z, тобто, y може бути образом зразу декількох елементів з X, але один елемент x не може породжувати більше одного образа з Y.

Елемент y з Y, який відповідає елементові x з X позначається як f(x).

Також можна сказати, що відображенням (функцією) з X в Y є така відповідність f⊆A×B, в якій кожному елементові a∈Pr₁f відповідає тільки один елемент з Pr₂f (тут × - Декартів добуток множин, Pr₁f та Pr₂f - відповідні проекції відображення).

Множина всіх функцій f : X → Y позначається як Y^X. При цьому потужність множини |Y^{X| = |Y||X|.}

Відповідність між X та Y, яка задовольняє тільки умові (1) називається багатозначною функцією. Будь-яка функція є багатозначною функцією, але не кожна багатозначна функція є функцією. Відповідність, яка задовольняє тільки умові (2) є часткова функція. Будь-яка функція є частковою, але не кожна часткова функція є функцією. В цій енциклопедії функцією є така відповідність між множинами, яка задовольняє одночасно умовам (1) та (2), якщо інше не вказується додатково.

Функції багатьох змінних, де y=f(x₁, ... , x_n), тобто де y одночасно залежить від n змінних, можна визначити як відображення виду f: Xⁿ → Y, де Xⁿ - n-степень множини X (див. Декартів добуток множин).

Приклади:

	Елемент x з X відповідає одночасно двом елементам 3 та c з Y, тобто, f(x) = a, f(x)=b і a≠b. Така відповідність є багатозначною функцією, але не функцією.
	Елемент 1 з X не відповідає жодному елементу з Y. Така відповідність є частковою функцією, але не функцією.
	Така відповідність є всюди визначеною та функціональною, тобто функцією з X в Y. Безпосередньо цю функцію можна задати множиною: f = {(1, d), (2, d), (3, c)} або умовним переліком:

[ред.] Області значень та визначення

X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f, а Y, множина усіх можливих результатів, інколи називається областю значень, але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.

Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої співпадають.

[ред.] Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції

Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій:

• Ін'єктивна функція - функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f(x) = f(y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.
• Сюр'єктивна функція - така функція f:X→Y, область визначення якої співпадає з множиною Y, тобто, існує лише один x з X такий, що f(x) = y, де y - елемент Y.
• Бієктивна функція - функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

[ред.] Образ та прообраз

Образом елемента x∈X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f(x).

Образ підмножини A⊂X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові:

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Слід зазначити, що область значень f співпадає з образом області визначення f(X).

Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як

f ⁻¹(B) = {x ∈ X | f(x) ∈B}

[ред.] Графік функції

Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f(x)), для всіх x з області визначення X.

[ред.] Композиція функцій

З функцій f: X → Y та g: Y → Z можна побудувати композицію функцій наступним чином: спершу застосувавши f до аргумента x з X, а потім застосувавши g до результата. Така композиція функцій позначається g o f: X → Z, тобто (g o f)(x) = g(f(x)) для всіх x з X.

[ред.] Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження

Відображення (функція) E: X → X, такe, що E(x) = x для будь-якого x з X, має назву тотожного відображення, про яке говорять, що воно відображує X в себе.

Відображення I: X → Y, яке відображує елемент x з X в такий же елемент, але в Y, називається вкладенням

Відображення g': X → Y називається звуженням (обмеженням) відображення g: X' → Y' , якщо X та Y є підмножинами X' та Y' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається продовженням відображення g'.

[ред.] Обернена функція

Деякі функції мають відповідні обернені функції. Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції. Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого до g, а g - правого оберненого до f. Якщо справедливо і f o g = E_Y і g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (функції) до f і позначається як f^-1.

[ред.] Див. також

Алгебраїчна функція Аналітична функція Апаратна функція Багатозначна функція Вектор-функція Випадкова функція Виробнича функція Гамма-функція Гармонійна функція

Дельта-функція Дробно-лінійна функція Експоненційна функція Лінійна функція Логарифмічна функція Математична функція Монотонна функція Непарна функція Неперервна функція

Обернена функція Однозначна функція Парна функція Періодична функція Пропозиційна функція Раціональна функція Розривна функція Світимості функція Складна функція

Степінна функція Трансцендентна функція Узагальнена функція Функція розподілу Хвильова функція Ціла функція