微分拓扑

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微分拓撲是一個处理在微分流形上的可微函数的数学领域。很自然地，它是在研究微分方程理論的过程中被提出來的。微分幾何是用微積分來研究幾何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。他们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、可微流形的几何理论。

微分几何：

古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉，蒙日，高斯被公认为古典微分几何的奠基人。
近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何)，这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。E.Cartan和陈省身等人曾在微分几何领域作出极为杰出的贡献。

[编辑] 內在對外在

从一开始到19世紀中葉, 微分幾何是從外在觀點来进行研究的: 曲線和曲面是被放在更高維歐幾里德空間中来考虑的(譬如曲面被放在三维的背景空间中)。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是独立的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。

内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。

这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。(见纳什嵌入定理)

[编辑] 技术要求

微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分， $p$ -形式在 $p$ 维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。

可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于 $R n$ 中的一个开单位球。并且，如果 $f$ , $g$ 是其中两个同胚映射，则函数 $f^{-1}\circ g$ 无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到 $R$ 的无限可微函数。

在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rⁿ。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以所有取值为0 并且一阶导数为0的函数空间(所得到的余空间)。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。

向量场是从流形到它的切空间的并集(切丛)的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。

交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V^*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。