Vikipedio:Projekto matematiko/Algebro super kampo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Algebro super kampo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikolo estas pri aparta speco de vektora spaco. Por alia uzas de la (termo, membro, flanko, termino) "algebro" vidi algebro (apartigilo).

En matematiko, algebro super kampo K, aŭ K-algebro, estas vektora spaco A super K (ekipita, armita) kun kongrua nocio de multipliko de eroj de A. Simpla ĝeneraligo permesas K al esti (ĉiu, iu) komuta ringo.

(Iu (aŭtoroj, aŭtoras) uzi la (termo, membro, flanko, termino) "algebro" sinonimoe kun "asocieca algebro", sed Vikipedio ne. (Tononomo, Noto, Noti) ankaŭ la alia uzas de la vorto listis en la algebra artikolo.)

Enhavo

1 (Difinoj, Difinas)
2 Propraĵoj
3 (Specoj, Specas) de (algebroj, algebras) kaj (ekzemploj, ekzemplas)
4 Indekso-libera skribmaniero
5 K-algebra strukturkonservanta transformo
6 Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

Al esti preciza, estu K esti kampo, kaj estu A esti vektora spaco super K. Supozi ni estas donita operacio (matematiko) A×<mi>A→<mi>A, kun la rezulto de ĉi tiu operacio aplikis al la (vektoroj, vektoras) x kaj y en A skribita kiel xy. Supozi plui (tiu, ke, kiu) la operacio estas dulineara, kio estas:

(x + y)z = xz + yz;
x(y + z) = xy + xz;
(ax)y = a(xy); kaj
x(by) = b(xy);

por ĉiuj (skalaroj, skalaras) a kaj b en K kaj ĉiuj (vektoroj, vektoras) x, y, kaj z. Tiam kun ĉi tiu operacio, A iĝas algebro super K, kaj K estas la baza kampo de A. La operacio estas (nomita, vokis) "multipliko"; (tononomo, noto, noti) la foresto de asocieco.

En ĝenerala, xy estas la (produkto, produto) de x kaj y, kaj la operacio estas (nomita, vokis) multipliko. Tamen, la operacio en kelkaj speciala (specoj, specas) de (algebroj, algebras) iras per malsama (nomoj, nomas).

(Algebroj, Algebras) povas ankaŭ pli ĝenerale esti difinita super (ĉiu, iu) komuta ringo K: ni (bezoni, bezono, necesa) modulo (modela teorio) A super K kaj dulineara multiplika operacio kiu (verigas, kontentigas) la samaj identoj kiel pli supre; tiam A estas K-algebro, kaj K estas la baza ringo de A.

Du (algebroj, algebras) A kaj B super K estas izomorfia se tie ekzistas (dissurĵeta, bijekcia) K-lineara surĵeto f : A → B tia (tiu, ke, kiu) f(_xy_) = f(x) f(y) por ĉiuj x,y en A. Por ĉiuj praktika (celoj, celas), izomorfia (algebroj, algebras) estas identa; ili (justa, ĵus) diferenci en la skribmaniero de iliaj eroj.

[redaktu] Propraĵoj

Por (algebroj, algebras) super kampo, la dulineara multipliko de A × A al A estas plene difinita per la multipliko de bazaj eroj de A. Male, iam bazo por A havas estas elektita, la (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) de bazaj eroj povas esti aro arbitre, kaj tiam etendis en unika vojo al dulineara operatoro sur A, kio estas tiel ke la rezultanta multipliko estos kontentigi la algebraj leĝoj.

Tial, donita la kampo K, (ĉiu, iu) algebro povas esti precizigita supren al izomorfio per donanta ĝia dimensio (diri n), kaj preciziganta n³ strukturaj koeficientoj c_mi,j,k, kiu estas (skalaroj, skalaras). Ĉi tiuj strukturaj koeficientoj difini la multipliko en A tra jena regulo:

$\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}$

kie e₁,...,e_n (formo, formi) bazo de A. La nur bezono sur la strukturaj koeficientoj estas (tiu, ke, kiu), se la dimensio n estas malfinia nombro, tiam ĉi tiu (sumo, sumi) devas ĉiam konverĝi (en nenial (senso, senco) estas adekvata por la situacio).

(Tononomo, Noto, Noti) tamen (tiu, ke, kiu) kelkaj malsamaj aroj de strukturaj koeficientoj povas elkovi izomorfia (algebroj, algebras).

Kiam la algebro povas esti dotita kun metriko, tiam la strukturaj koeficientoj estas skribita kun supra kaj subaj indeksoj, (do, tiel) rilate (distingi, diferencigi) iliaj transformaj propraĵoj sub koordinato (transformoj, transformas). Aparte, subaj indeksoj estas _covariant_ indeksoj, kaj (konverti, konverto) tra (malantaŭentiroj, malantaŭentiras), dum supraj indeksoj estas _contravariant_, konvertanta sub _pushforwards_. Tial, en matematika fiziko, la strukturaj koeficientoj estas ofte skribita c_mi,j^k, kaj ilia difinanta regulo estas skribita uzanta la Ejnŝtejna skribmaniero kiel

e_mie_j = c_mi,j^ke_k.

Se vi apliki ĉi tiu al (vektoroj, vektoras) skribita en indeksa skribmaniero, tiam ĉi tiu iĝas

(xy)^k = c_mi,j^kx^miy^j.

Se K estas nur komuta ringo kaj ne kampo, tiam la sama procezo (laboroj, laboras) se A estas libera modulo super K. Se ĝi _isn_'t, tiam la multipliko estas ankoraŭ plene difinita per ĝia ago sur generanta aro de A; tamen, la strukturo (konstantoj, konstantas) povas't esti precizigita arbitre en ĉi tiu (kesto, okazo), kaj scianta nur la strukturo (konstantoj, konstantas) ne precizigi la algebro supren al izomorfio.

[redaktu] (Specoj, Specas) de (algebroj, algebras) kaj (ekzemploj, ekzemplas)

komuta algebro estas unu kies multipliko estas komuta; asocieca algebro estas unu kies multipliko estas asocieca. Ĉi tiuj inkluzivi la plej familiara (specoj, specas) de (algebroj, algebras).

Asociecaj algebroj:
- la algebro de ĉiuj n-per-n matricoj super la kampo (aŭ komuta ringo) K. Ĉi tie la multipliko estas ordinara matrica multipliko.
- Grupaj algebroj, kie grupo servas kiel bazo de la vektora spaco kaj algebra multipliko etendas grupa multipliko
- la komuta algebro K[x] de ĉiuj (polinomoj, polinomas) super K
- (algebroj, algebras) de funkcioj, kiel la R-algebro de ĉiuj (reala, reela)-valoraj kontinuaj funkcioj difinis sur la intervalo [0,1], aŭ la C-algebro de ĉiuj holomorfaj funkcioj difinis sur iu (fiksis, neŝanĝebligita) malfermita aro en la kompleksa ebeno. Ĉi tiuj estas ankaŭ komuta.
- _Incidence_ (algebroj, algebras) estas konstruita sur certa parte ordaj aroj.
- (algebroj, algebras) de linearaj operatoroj, ekzemple sur Hilberta spaco. Ĉi tie la algebra multipliko estas donita per la komponaĵo de (operatoroj, operatoras). Ĉi tiuj (algebroj, algebras) ankaŭ (porto, porti) topologio; multaj de ilin estas difinita sur suba Banaĥa spaco kiu (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ilin enen Banaĥaj algebroj. Se involucio estas donita kiel bone, ni ricevi (B-stelo-algebroj, B-stelo-algebras) kaj (C*-algebroj, C*-algebras). Ĉi tiuj estas studita en funkcionala analitiko.

La plej bona-sciata (specoj, specas) de ne-asociecaj algebroj estas tiuj kiu estas proksime asocieca, tio estas, en kiu iu simpla ekvacio limigas la diferencoj inter malsama (vojoj, vojas) de (asociitanta, asociananta, kompaniananta) multipliko de eroj. Ĉi tiuj inkluzivi:

(Mensogi, Kuŝi) (algebroj, algebras), por kiu ni postuli _xx_ = 0 kaj la Jakobia idento (_xy_)z + (_yz_)x + (_zx_)y = 0. Por ĉi tiuj (algebroj, algebras) la (produkto, produto) estas (nomita, vokis) la (Mensogi, Kuŝi) krampo kaj estas kutime skribita [x,y] anstataŭ _xy_. (Ekzemploj, Ekzemplas) inkluzivi:
- Eŭklida spaco R³ kun multipliko donita per la vektoro kruci (produkto, produto) (kun K la kampo R de reelaj nombroj);
- (algebroj, algebras) de vektoraj kampoj sur diferencialebla dukto (se K estas R aŭ la kompleksaj nombroj C) aŭ algebra diversaĵo (por ĝenerala K);
- ĉiu asocieca algebro donas pligrandiĝo al (Mensogi, Kuŝi) algebro per uzanta la komutilo kiel (Mensogi, Kuŝi) krampo. Fakte ĉiu (Mensogi, Kuŝi) algebro povas ĉu esti konstruita tiamaniere, aŭ estas subalgebro de (Mensogi, Kuŝi) algebro (do, tiel) konstruis.

Jordanaj algebroj, por kiu ni postuli (_xy_)x² = x(_yx_²) kaj ankaŭ _xy_ = _yx_.
- ĉiu asocieca algebro super kampo de karakterizo escepte 2 donas pligrandiĝo al Jordana algebro per difinanta nova multipliko x*y = (1/2)(_xy_ + _yx_). En kontrasto al la (Mensogi, Kuŝi) algebro (kesto, okazo), ne ĉiu Jordana algebro povas esti konstruita tiamaniere. Tiuj (tiu, ke, kiu) povas estas (nomita, vokis) speciala.

Alternativaj algebroj, por kiu ni postuli (tiu, ke, kiu) (_xx_)y = x(_xy_) kaj (_yx_)x = y(_xx_). La plej grava (ekzemploj, ekzemplas) estas la _octonions_ (algebro super la reelaj nombroj), kaj (ĝeneraligoj, ĝeneraligas) de la _octonions_ super aliaj kampoj. (Evidente ĉiuj asociecaj algebroj estas alternativo.) Supren al izomorfio la nur finidimensia (reala, reela) alternativaj algebroj estas la reelaj nombroj, kompleksoj, _quaternions_ kaj _octonions_.

Povo-asocieca (algebroj, algebras), por kiu ni postuli (tiu, ke, kiu) x^mxⁿ = x^m+n, kie m≥1 kaj n≥1. (Ĉi tie ni formale difini xⁿ rekursie kiel x(x^n-1).) (Ekzemploj, Ekzemplas) inkluzivi ĉiuj asociecaj algebroj, ĉiuj alternativaj algebroj, kaj la _sedenions_.

Pli klasoj de (algebroj, algebras):

Dividaj algebroj, en kiuj inversoj ekzisti aŭ divido povas esti portita ekster. La finidimensiaj dividaj algebroj super la kampo de reelaj nombroj povas esti (klasifikita, klasigita) bonguste.

Kvadrata (algebroj, algebras), por kiu ni postuli (tiu, ke, kiu) _xx_ = rao + _sx_, por iuj eroj r kaj s en la tera kampo, kaj e unuo por la algebro. (Ekzemploj, Ekzemplas) inkluzivi ĉiuj finidimensiaj alternativaj algebroj, kaj la algebro de (reala, reela) 2-per-2 matricoj. Supren al izomorfio la nur alternativo, kvadrata (reala, reela) (algebroj, algebras) sen divizoroj de nulo estas la reelaj nombroj, kompleksoj, _quaternions_, kaj _octonions_.

La _Cayley_-_Dickson_ (algebroj, algebras) (kie K estas R), kiu komenci kun:
- C (komuta kaj asocieca algebro);
- la _quaternions_ H (asocieca algebro);
- la _octonions_ (alternativa algebro);
- la _sedenions_ (povo-asocieca algebro, ŝati ĉiuj de la _Cayley_-_Dickson_ (algebroj, algebras)).

La _Poisson_ (algebroj, algebras) estas (konsiderita, konsideris) en geometria kvantumigo. Ili (porto, porti) du (multiplikoj, multiplikas), (kurbiĝanta, turnanta, tornanta, kurbiganta) ilin enen komutaj algebroj kaj (Mensogi, Kuŝi) (algebroj, algebras) en malsama (vojoj, vojas).

[redaktu] Indekso-libera skribmaniero

La difino de k-algebro estas ankaŭ ofte donita en indekso-libera skribmaniero. En ĉi tiu (kesto, okazo), k-algebro estas kampo K kaj ringo A kaj ankaŭ ringa strukturkonservanta transformo

$\eta:K\to A$

Ekde η estas ringa strukturkonservanta transformo, tiam unu devas havi ĉu (tiu, ke, kiu) A estas la bagatela ringo, aŭ (tiu, ke, kiu) η estas (disĵeta, enjekcia). Ĉi tiu difino estas ekvivalento al (tiu, ke, kiu) pli supre, kun skalara multipliko

$K\times A \to A$

donita per

$ka \mapsto \eta(k) a$ .

[redaktu] K-algebra strukturkonservanta transformo

Donita K-(algebroj, algebras) A kaj B, K-algebra strukturkonservanta transformo estas mapo $f:A\to B$ tia (tiu, ke, kiu) f estas ringa strukturkonservanta transformo (tiu, ke, kiu) komutiĝas kun la skalara multipliko difinis per η; tio estas, jena figuro komutiĝas: