Vikipedio:Projekto matematiko/Lineara kombinaĵo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Lineara kombinaĵo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, linearaj kombinaĵoj estas koncepto centra al lineara algebro kaj rilatantaj kampoj de matematiko. La plejparto de ĉi tiu artikolo (kontraktoj, kontraktas) kun linearaj kombinaĵoj en la ĉirkaŭteksto de vektora spaco super kampo, kun iu (ĝeneraligoj, ĝeneraligas) donita je la fino de la artikolo.

Enhavo

1 Difino
2 (Ekzemploj, Ekzemplas) kaj (kontraŭekzemploj, kontraŭekzemplas)
3 La lineara (naski, generi)
4 Alia rilatanta (konceptoj, konceptas)
5 (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

[redaktu] Difino

Supozi (tiu, ke, kiu) K estas kampo kaj V estas vektora spaco super K. Kiel kutima, ni (voko, voki) eroj de V (vektoroj, vektoras) kaj (voko, voki) eroj de K (skalaroj, skalaras). Se v₁,...,v_n estas (vektoroj, vektoras) kaj a₁,...,a_n estas (skalaroj, skalaras), tiam la lineara kombinaĵo de tiuj (vektoroj, vektoras) kun tiuj (skalaroj, skalaras) kiel koeficientoj estas

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n \,$

En donita situacio, K kaj V (majo, povas) esti precizigita eksplicite, aŭ ili (majo, povas) esti evidenta de ĉirkaŭteksto. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), ni ofte paroli de lineara kombinaĵo de la (vektoroj, vektoras) v₁,...,v_n, kun la koeficientoj _unspecified_ (escepti (tiu, ke, kiu) ili devas aparteni K). Aŭ, se S estas subaro de V, ni (majo, povas) paroli de lineara kombinaĵo de (vektoroj, vektoras) en S, kie ambaŭ la koeficientoj kaj la (vektoroj, vektoras) estas _unspecified_, escepti (tiu, ke, kiu) la (vektoroj, vektoras) devas aparteni la aro S (kaj la koeficientoj devas aparteni K). Fine, ni (majo, povas) paroli simple de lineara kombinaĵo, kie nenio estas precizigita (escepti (tiu, ke, kiu) la (vektoroj, vektoras) devas aparteni V kaj la koeficientoj devas aparteni K).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) per difino, lineara kombinaĵo engaĝas nur finie multaj (vektoroj, vektoras) (escepti kiel priskribis en (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas) pli sube). Tamen, la aro S (tiu, ke, kiu) la (vektoroj, vektoras) estas prenita de (se unu estas menciita) povas ankoraŭ esti malfinio; ĉiu persona lineara kombinaĵo estos nur engaĝi finie multaj (vektoroj, vektoras). Ankaŭ, estas ne kaŭzo (tiu, ke, kiu) n ne povas esti nulo; en (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), ni deklari per konvencio (tiu, ke, kiu) la rezulto de la lineara kombinaĵo estas la nula vektoro en V.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas) kaj (kontraŭekzemploj, kontraŭekzemplas)

[redaktu] Analitika geometrio

Estu la kampo K esti la aro R de reelaj nombroj, kaj estu la vektora spaco V esti la Eŭklida spaco R³. Konsideri la (vektoroj, vektoras) e₁ := (1,0,0), e₂ := (0,1,0) kaj e₃ = (0,0,1). Tiam (ĉiu, iu) vektoro en R³ estas lineara kombinaĵo de e₁, e₂ kaj e₃.

Al vidi (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas (do, tiel), preni ajna vektoro (a₁,a₂,a₃) en R³, kaj skribi:

$( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3) \,$

$= a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) \,$

$= a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 \,$

[redaktu] Funkcionala analitiko

Estu K esti la aro C de ĉiuj kompleksaj nombroj, kaj estu V esti la aro C_C(R) de ĉiuj kontinuaj funkcioj de la reala linio R al la kompleksa ebeno C. Konsideri la (vektoroj, vektoras) (funkcioj) f kaj g difinis per f(t) := e^ĝi kaj g(t) := e^−ĝi. (Ĉi tie, e estas la bazo de la natura logaritmo, pri 2.71828..., kaj mi estas la imaginara unuo, kvadrata radiko de −1.) Iuj linearaj kombinaĵoj de f kaj g estas:

. <_div_ style="vertical-align: 0%;display:inline;"> $\cos t = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{i t} + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{-i t} \,$
$2 \sin t = (-i ) e^{i t} + ( i ) e^{-i t} \,$

Aliflanke, la konstanta funkcio 3 estas ne lineara kombinaĵo de f kaj g. Al vidi ĉi tiu, supozi (tiu, ke, kiu) 3 povis esti skribita kiel lineara kombinaĵo de e^ĝi kaj e^−ĝi. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) tie devus ekzisti komplekso (skalaroj, skalaras) a kaj b tia (tiu, ke, kiu) _ae_^ĝi + esti^−ĝi = 3 por ĉiuj reelaj nombroj t. Opcio t = 0 kaj t = π donas la ekvacioj a + b = 3 kaj a + b = −3, kaj klare ĉi tiu ne povas okazi.

[redaktu] Algebra geometrio

Estu K esti (ĉiu, iu) kampo (R, C, aŭ nenial vi ŝati plej bona), kaj estu V esti la aro P de ĉiuj (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj prenita de la kampo K. Konsideri la (vektoroj, vektoras) ((polinomoj, polinomas)) p₁ := 1, p₂ := x + 1, kaj p₃ := x² + x + 1.

Estas la polinomo x² − 1 lineara kombinaĵo de p₁, p₂, kaj p₃? Al ekscii, konsideri ajna lineara kombinaĵo de ĉi tiuj (vektoroj, vektoras) kaj provi al vidi kiam ĝi egalas la deziris vektoro x² − 1. (Pikanta, Prenanta) ajnaj koeficientoj a₁, a₂, kaj a₃, ni bezono

$a_1 (1) + a_2 ( x + 1) + a_3 ( x^2 + x + 1) = x^2 - 1 \,$

Multiplikante la (polinomoj, polinomas) ekster, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas)

$( a_1 ) + ( a_2 x + a_2) + ( a_3 x^2 + a_3 x + a_3) = x^2 - 1 \,$

kaj (kolektado, kolektante) ŝati (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) de x, ni preni

$a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 ) = 1 x^2 + 0 x + (-1) \,$

Du (polinomoj, polinomas) estas egala se kaj nur se ilia (korespondanta, respektiva) koeficientoj estas egala, (do, tiel) ni povas konkludi

$a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1 \,$

Ĉi tiu sistemo de linearaj ekvacioj povas facile esti solvita. Unua, la unua ekvacio simple diras (tiu, ke, kiu) a₃ estas 1. Scianta (tiu, ke, kiu), ni povas solvi la (sekundo, dua) ekvacio por a₂, kiu venas ekster al −1. Fine, la lasta ekvacio diras ni (tiu, ke, kiu) a₁ estas ankaŭ −1. Pro tio, la nur ebla vojo al preni lineara kombinaĵo estas kun ĉi tiuj koeficientoj. Ja,

$x^2 - 1 = -1 - ( x + 1) + ( x^2 + x + 1) = - p_1 - p_2 + p_3 \,$

(do, tiel) x² − 1 estas lineara kombinaĵo de p₁, p₂, kaj p₃.

Aliflanke, kio pri la polinomo x³ − 1? Se ni provi al fari ĉi tiu vektora lineara kombinaĵo de p₁, p₂, kaj p₃, tiam sekva la sama procezo kiel antaŭ, ni’lL preni la ekvacio

$0 x^3 + a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 ) \,$

$= 1 x^3 + 0 x^2 + 0 x + (-1) \,$

Tamen, kiam ni aro (korespondanta, respektiva) koeficientoj egala en ĉi tiu (kesto, okazo), la ekvacio por x³ estas

$0 = 1 \,$

kiu estas ĉiam malvera. Pro tio, estas ne vojo por ĉi tiu al laboro, kaj x³ − 1 estas ne lineara kombinaĵo de p₁, p₂, kaj p₃.

[redaktu] La lineara (naski, generi)

Ĉefa artikolo: lineara (naski, generi)

Preni ajna kampo K, ajna vektora spaco V, kaj estu v₁,...,v_n esti (vektoroj, vektoras) (en V). Ĝi’s (interezanta, interesanta) al konsideri la aro de ĉiuj linearaj kombinaĵoj de ĉi tiuj (vektoroj, vektoras). Ĉi tiu aro estas (nomita, vokis) la lineara (naski, generi) (aŭ (justa, ĵus) (naski, generi)) de la (vektoroj, vektoras), diri S ={v₁,...,v_n}. Ni skribi la (naski, generi) de S kiel (naski, generi)(S) aŭ _sp_(S):

$\mathrm{Sp}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n : a_1 ,\ldots, a_n \subseteq K \} \,$

[redaktu] Alia rilatanta (konceptoj, konceptas)

Iam, iu sola vektoro povas esti skribita en du malsama (vojoj, vojas) kiel lineara kombinaĵo de v₁,...,v_n. Se tio estas ebla, tiam v₁,...,v_n estas (nomita, vokis) lineare dependa; alie, ili estas lineare sendependa. Simile, ni povas paroli de lineara dependeco aŭ sendependeco de ajna aro S de (vektoroj, vektoras).

Se S estas lineare sendependa kaj la (naski, generi) de S egalas V, tiam S estas bazo por V.

Ni povas (opinii, pensi) de linearaj kombinaĵoj kiel la plej ĝenerala (speco, ordigo) de operacio sur vektora spaco. La baza (operacioj, operacias) de aldono kaj skalara multipliko, kaj ankaŭ la ekzisto de alsuma idento kaj kontraŭegaloj, ne povas esti kombinita en (ĉiu, iu) pli komplika vojo ol la ĝenerala lineara kombinaĵo. Finfine, ĉi tiu fakto (mensogoj, mensogas, kuŝas) je la koro de la utileco de linearaj kombinaĵoj en la studi de vektoraj spacoj.

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

Se V estas topologia vektora spaco, tiam tie (majo, povas) esti vojo al fari (senso, senco) de certa malfinio lineara kombinaĵo, uzanta la topologio de V. Ekzemple, ni povus kapabli paroli de a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + ..., iranta sur eterne. Tiaj malfiniaj linearaj kombinaĵoj ne ĉiam fari (senso, senco); ni (voko, voki) ilin konverĝa kiam ili fari. Permesanta pli linearaj kombinaĵoj en ĉi tiu (kesto, okazo) povas ankaŭ (plumbo, konduki) al malsama koncepto de (naski, generi), lineara sendependeco, kaj bazo. La (artikoloj, artikloj) sur la diversaj aromoj de topologiaj vektoraj spacoj divizori pli detalo pri ĉi tiuj.

Se K estas komuta ringo anstataŭ kampo, tiam ĉio (tiu, ke, kiu) havas estas dirita pli supre pri linearaj kombinaĵoj ĝeneraligas al ĉi tiu (kesto, okazo) sen ŝanĝi. La nur diferenco estas (tiu, ke, kiu) ni (voko, voki) (spacoj, kosmoj, spacetoj) ŝati V (moduloj, modulas) anstataŭ vektoraj spacoj. Se K estas nekomutebla ringo, tiam la koncepto ankoraŭ ĝeneraligas, kun unu _caveat_: Ekde (moduloj, modulas) super nekomutebla (ringoj, ringas, sonoras) veni en (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) (versioj, versias), niaj linearaj kombinaĵoj (majo, povas) ankaŭ veni en ĉu de ĉi tiuj (versioj, versias), nenial estas adekvata por la donita modulo (modela teorio). Ĉi tiu estas simple (materio, afero) de farante skalara multipliko sur la (ĝusta, ĝustigi, korekti) flanko.

Pli komplika tordi venas kiam V estas dumodulo super du (ringoj, ringas, sonoras), K_L kaj K_R. En (tiu, ke, kiu) (kesto, okazo), la plej ĝenerala lineara kombinaĵo (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati

$a_1 v_1 b_1 + \cdots + a_n v_n b_n \,$