Funkcja "na"

Niech $X$ oraz $Y$ będą dowolnymi zbiorami. Funkcja $f\colon X \to Y$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji w pewnym punkcie. Za pomocą notacji logicznej zapisuje się to jako:

$\forall{y \in Y}\; \exists{x \in X}\; f(x) = y$ ,

co oznacza się często jako $f\colon X \xrightarrow{na} Y$ lub $f\colon X \xrightarrow[na]\ Y$ .

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, $f (X) = Y$ , inaczej $\operatorname{Im} f = Y$ .

[edytuj] Uwaga

Należy pamiętać, że to wybór przeciwdziedziny decyduje o suriektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

$f_1\colon \mathbb R \to \mathbb R$ określonej wzorem

f 1 (x) = x 2

oraz

$f_2\colon \mathbb R \to [0, \infty)$ określonej wzorem

f 2 (x) = x 2

Tylko druga z powyższych funkcji jest suriekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto. że dowolna funkcja jest suriekcją, jeśli jako zbiór $Y$ przyjmiemy zbiór jej wartości.

[edytuj] Pisownia

Słowo suriekcja bywa pisane przez j, co jest błędem. Zasady pisowni polskiej nakazują stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i, a więc poprawnie jest suriekcja oraz iniekcja, niezależnie od wymowy i obcego pochodzenia tych wyrazów.

[edytuj] Przykłady

Niech $x \in \mathbb R$ będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

$f\colon x \mapsto \tfrac{1}{x}$ dla $x \ne 0$ na $\mathbb R \setminus \{0\}$ ,
$f\colon x \mapsto x^a$ dla $a \in \{2n+1\colon n \in \mathbb N\}$ na $\mathbb R$ ,
$f\colon x \mapsto \ln x$ dla $x > 0$ na $\mathbb R$ ,
$f\colon x \mapsto \operatorname{tg}\;x$ dla $x \in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2})$ na $\mathbb R$ ,
$f\colon \mathbb R \overset\underset\mathrm{na}\ \to \mathbb Z, \quad f(x) = \lceil x \rceil$ ,
$f\colon 2^{2^\mathbb R} \overset\underset\mathrm{na}\ \to \{1\}, \quad f(x) = 1$ .