Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

sinus hiperboliczny: $\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}$ (oznaczany również sh(x))
cosinus hiperboliczny: $\cosh x = {e^x + e^{-x}\over2}$ (oznaczany również ch(x))
tangens hiperboliczny: $\operatorname{tgh} x = {\sinh x \over\cosh x} = {{e^x - e^{-x}}\over{e^x + e^{-x}}}$ (oznaczany również th(x))
cotangens hiperboliczny: $\operatorname{ctgh} x = {\cosh x \over\sinh x} = {{e^x + e^{-x}}\over{e^x - e^{-x}}}$
secans hiperboliczny: $\mbox{sech} x = {1\over\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}$
cosecans hiperboliczny: $\mbox{csch} x = {1\over\sinh x} = {\frac{2}{e^x-e^{-x}}}$

Spis treści

1 Związek z funkcjami trygonometrycznymi
2 Właściwości funkcji hiperbolicznych
3 Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi
4 Pochodne funkcji hiperbolicznych
5 Rozwinięcia w szeregi potęgowe
6 Rozwinięcia w iloczyny nieskończone
7 Funkcje odwrotne
8 Wykresy
9 Zobacz też

[edytuj] Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

$(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \,$

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh{(2t)}= 2 \sinh t \cosh t \,$

$\cosh{(2t)}= (\cosh t)^2 + (\sinh t)^2 \,$

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)$

$\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)$

$\operatorname{tgh}(ix) = i \operatorname{tg}(x) \,$

$\sinh x = -i \sin(ix) \,$

$\cosh x = \cos(ix) \,$

$\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg}(ix) \,$

$\operatorname{ctgh}(ix) = \frac{\operatorname{ctg}(x)}{i} = -i \operatorname{ctg}(x)$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

[edytuj] Właściwości funkcji hiperbolicznych

Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
$\sinh(\ln(\phi))=\frac{1}{2}$ przy czym φ jest złotą proporcją
$\cosh(\ln(\phi))=\frac{1}{2} \sqrt{5}$ przy czym φ jest złotą proporcją

[edytuj] Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego $sin 2 x + cos 2 x = 1$ jest $c o s h 2 (z) - s i n h 2 (z) = 1$ . Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

[edytuj] Pochodne funkcji hiperbolicznych

$\operatorname{sinh}'(x) = \operatorname{cosh}(x)$

$\operatorname{cosh}'(x) = \operatorname{sinh}(x)$

$\operatorname{tgh}'(x) = {1\over{\cosh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{tgh}^2(x)}$

$\operatorname{ctgh}'(x) = {{-1}\over{\sinh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{ctgh}^2(x)}$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji hiperbolicznych

[edytuj] Rozwinięcia w szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{120}z^5+\frac{1}{5040}z^7+\cdots$

$\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{24}z^4+\frac{1}{720}z^6+\cdots$

[edytuj] Rozwinięcia w iloczyny nieskończone

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

[edytuj] Funkcje odwrotne

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.