Przykłady przestrzeni liniowych

Z Wikipedii

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. Przez $K$ oznaczać będziemy dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste $\mathbb R$ lub liczby zespolone $\mathbb C$ . Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Spis treści

1 Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa
2 Ciało
3 Przestrzeń współrzędnych
4 Nieskończona przestrzeń współrzędnych
5 Iloczyn przestrzeni liniowych
6 Macierze
7 Przestrzenie liniowe wielomianów
- 7.1 Pojedyncza zmienna
- 7.2 Wiele zmiennych
8 Przestrzenie funkcyjne
9 Rozszerzenia ciała
10 Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe

[edytuj] Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: $\{\mathbf 0\}$ . Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc $\{\mathbf 0\}$ jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad $K$ . Każda przestrzeń liniowa nad $K$ zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

[edytuj] Ciało

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało $K$ . Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka $K$ służy jako baza, tak więc $K$ jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad $K$ . Dodatkowo $K$ ma tylko dwie podprzestrzenie: $\{\mathbf 0\}$ oraz samo $K$ .

[edytuj] Przestrzeń współrzędnych

Oto prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ , przestrzeń wszystkich krotek $n$ -elementowych o wartościach z $K$ stanowi $n$ -wymiarową przestrzeń liniową nad $K$ nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną $K n$ . Element $K n$ zapisuje się

$\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ,

gdzie każdy $x_i \in K$ . Działania na $K n$ zdefiniowane są wzorami:

$\mathbf x + \mathbf y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n)$ ,

$\alpha\mathbf x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n)$ ,

$\mathbf 0 = (0, 0, \dots, 0)$ ,

$\mathbf{-x} = (-x_1, -x_2, \dots, -x_n)$ .

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało $K$ liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych $\mathbb R^n$ lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych $\mathbb C^n$ .

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa $K n$ ma bazę kanoniczną:

$\mathbf e_1 = (1, 0, \dots, 0)$ ,

$\mathbf e_2 = (0, 1, \dots, 0)$ ,

$\vdots$

$\mathbf e_n = (0, 0, \dots, 1)$ ,

gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$ .

[edytuj] Nieskończona przestrzeń współrzędnych

Niech $K^\infty$ oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z $K$ takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element $K^\infty$ jako

$\mathbf x = (x_1, x_2, x_3, \dots)$ ,

to tylko skończenie wiele $x i$ jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar $K^\infty$ jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów $\mathbf e_i$ zawierających $1$ na $i$ -tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej $K$ .

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z $K$ , które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną $K^\mathbb N$ – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, $K^\mathbb N$ nie jest izomorficzna z $K^\infty$ ; w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy $K$ . Warto zauważyć, że $K^\infty$ jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną $K^\infty$ , ponieważ przekształcenie liniowe $T$ z $K^\infty$ w $K$ jest jednoznacznie określone przez jego wartości $T(\mathbf e_i)$ na elementach bazy $K^\infty$ , a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

[edytuj] Iloczyn przestrzeni liniowych

Rozpoczynając od $n$ lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

[edytuj] Macierze

Niech $K^{m \times n}$ oznacza zbiór macierzy z elementami w $K$ . Wówczas $K^{m \times n}$ jest przestrzenią liniową nad $K$ . Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar $K^{m \times n}$ wynosi $m n$ . Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

[edytuj] Przestrzenie liniowe wielomianów

[edytuj] Pojedyncza zmienna

Zbiór wielomianów o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K [x]$ . Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar $K [x]$ jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż $n$ otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze $n$ .

Jedną z możliwych baz dla $K [x]$ jest złożona z wielomianów $1, x,\,x^2,\,x^3,\dots$ : współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z $K [x]$ w nieskończoną przestrzeń współrzędnych $K^\infty$ .

[edytuj] Wiele zmiennych

Zobacz więcej w osobnym artykule: pierścień wielomianów.

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ oznaczaną $K[x_1, x_2, \dots, x_r]$ , gdzie $r$ oznacza liczbę współrzędnych.

[edytuj] Przestrzenie funkcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń funkcyjna.

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, a $V$ dowolną przestrzenią liniową nad $K$ . Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji $f,\,g$ i dowolnego skalara $α$ :

(f + g)(x) = f (x) + g (x)

(α f)(x) = α f (x)

gdzie działania po prawej stronie są określone w $V$ . Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z $X$ w $V$ jest zwykle oznaczana $V X$ .

Jeżeli zbiór $X$ jest skończony, a $V$ skończeniewymiarowa, to $V X$ ma wymiar $| X | dim V$ , w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli $X$ jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

[edytuj] Uogólnione przestrzenie współrzędnych

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z $X$ w $K$ , które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową $K X$ .

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana $(K X) 0$ i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli $X$ jest zbiorem liczb od $1$ do $n$ , to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych $K n$ . Podobnie jeżeli $X$ jest zbiorem liczb naturalnych $\mathbb N$ , to przestrzeń ta jest po prostu $K^\infty$ .

Baza kanoniczna dla $(K X) 0$ jest zbiorem funkcji $\{\delta_x | x \in X\}$ określonych wzorem

$\delta_x(y) = \begin{cases}1, & x = y \\ 0, & x \ne y \end{cases}$ .

Wymiar $(K X) 0$ jest więc równy mocy zbioru $X$ . W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną $(K X) 0$ .

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta $| X |$ egzemplarzy $K$ (czyli jednej dla każdego punktu z $X$ ):

$(K^X)_0 = \bigoplus_{x \in X}~K$ .

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym $| X |$ egzemplarzy $K$ , który dałby pełną przestrzeń funkcyjną $K X$ .

[edytuj] Przekształcenia liniowe

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech $\operatorname{L}(V, W)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad $K$ ). Wówczas Niech $\operatorname{L}(V, W)$ jest podprzestrzenią

$W V$ , ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że $\operatorname{L}(K^n, K^m)$ może być identyfikowane z przestrzenią macierzy $K^{m \times n}$ w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach $V$ oraz $W$ przestrzeń $\operatorname{L}(V, W)$ może być także identyfikowana z $K^{m \times n}$ . Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

[edytuj] Funkcje ciągłe

Jeżeli $X$ jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy $[0,1]$ , możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z $X$ w $\mathbb R$ . Jest to podprzestrzeń liniowa $\mathbb R^X$ , ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

[edytuj] Równania różniczkowe

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z $\mathbb R$ w $\mathbb R$ składających się z (wystarczająco różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią $\mathbb R^\mathbb R$ , o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli $(a f + b g)' = a f' + b g'$ , gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

[edytuj] Rozszerzenia ciała

Przypuśćmy, że $L$ jest podciałem $K$ (por. rozszerzenie ciała). Wówczas $K$ może być uważane za przestrzeń liniową nad $L$ przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z $L$ (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone $\mathbb C$ tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$ . Podobnie liczby rzeczywiste $\mathbb R$ tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi $\mathbb Q$ .

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ , to może być uważana również za przestrzeń liniową nad $L$ . Wymiary są związane wzorem

$\dim_L V = \dim_K V \cdot \dim_L K$ .

Na przykład $\mathbb C^n$ , uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar $2 n$ .

[edytuj] Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy $K q$ , jednoznaczne, skończone ciało o $q$ elementach. $q$ musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ( $q = p^m, \quad p$ – pierwsza). Wtedy dowolna $n$ -wymiarowa przestrzeń liniowa nad $K q$ będzie mieć $q n$ elementów. Zauważmy, że liczba elementów $V$ również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych $(K q) n$ .

Kategoria: Algebra liniowa

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.