Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:

$c^2 = a^2 + b^2.\,$

Índice

1 Passos históricos
2 Algumas demonstrações do teorema adequadas à nossa época
- 2.1 Por semelhança de triângulos
- 2.2 Comparando áreas
3 Aplicações do Teorema
- 3.1 Quadrado
- 3.2 Triângulo Equilátero
4 Generalizações
5 O teorema de Pitágoras na Geometria Esférica e Hiperbólica
6 Ver também
7 Ligações Externas

[editar] Passos históricos

Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:

Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o seu nome.

Desenha-se um quadrado de lado $a + b$ ;
Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a $a 2 + b 2$ ;
Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado $a + b$ , mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.

Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: $c 2$

Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: $a 2 + b 2 = c 2$ , ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.

Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

[editar] Algumas demonstrações do teorema adequadas à nossa época

[editar] Por semelhança de triângulos

$\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)$

$\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)$

Da figura $c = d + e \,\!$ e substituindo pelas equações (1) e (2):

$c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}$

Multiplicando tudo por c:

$c^2 = a^2 + b^2 \,\!.$

[editar] Comparando áreas

[editar] Aplicações do Teorema

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:

[editar] Quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:

$l^2+l^2=d^2\,\! \Rightarrow$

$2l^2=d^2\,\! \Rightarrow$ $d=\sqrt{2l^2}\,\! \Rightarrow$ $d= l \sqrt{2}\,\!.$

[editar] Triângulo Equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:

$l^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+h^2\,\! \Rightarrow$ $l^2=\frac{l^2}{4}+h^2\,\! \Rightarrow$ $\frac{4l^2}{4}= \frac{l^2}{4} + \frac{4h^2}{4}\,\! \Rightarrow$ $4l^2=l^2+4h^2\,\! \Rightarrow$ $4h^2=3l^2\,\! \Rightarrow$ $h^2=\frac{3l^2}{4}\,\! \Rightarrow$ $h= \sqrt{\frac{3l^2}{4}}\,\! \Rightarrow$ $h = \frac{l\sqrt3}{2}\,\!.$

[editar] Generalizações

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

[editar] O teorema de Pitágoras na Geometria Esférica e Hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os seus catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas: