Lei dos cossenos
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A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.
[editar] Fórmula:
Em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos 
, 
e 
valem as relações:
[editar] Demonstração:
A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos::
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: 
.
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: 
e 
.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
- Para BCD:
a* Para BAD: 
Substituindo 
e 
em :
Entretanto, pode-se substituir a relação , do triângulo 
, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor 
como sendo igual a 
temos um triângulo formado pela soma 
e o resultante 
. Sabendo que 
e 
sendo θ o ângulo entre os vetores 
e 
temos o seguinte desenvolvimento:
Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:
Já que θ é o ângulo formado entre os vetores e 
e considerando que o ponto da origem de é o mesmo da origem de , dizemos que esse ponto é C, pois é oposto ao vetor , logo formando um ângulo .
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