Equações de Maxwell

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As Equações de Maxwell são o grupo de quatro equações, atribuídas a James Clerk Maxwell, que descrevem o comportamento dos campos elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria.

As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas elétricas produzem campos elétricos (Lei de Gauss), a ausência experimental de cargas magnéticas, como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de Ampère), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos (Lei da indução de Faraday). Maxwell, em 1864, foi o primeiro a colocar todas as quatro equações juntas e perceber que era necessário uma correção na lei de Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo campos magnéticos.

Além disso, Maxwell mostrou que as quatro equações, com sua correção, predizem ondas de campos magnéticos e elétricos oscilantes que viajam através do espaço vazio na velocidade que poderia ser predita de simples experiências elétricas—usando os dados disponíveis no época, Maxwell obteve a velocidade de 310.740.000 m/s .

Maxwell (1865) escreveu:

Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.

Maxwell estava correto em sua hipótese, embora ele não tenha vivido para ver sua comprovação por Heinrich Hertz em 1888. A explicação quantitativa da luz como onda eletromagnética é considerada um dos grandes triunfos da física do século XIX. (Na verdade, Michael Faraday postulou uma descrição similar da luz em 1846, mas não foi capaz de dar uma descrição quantitativa ou predizer a velocidade.) Além disso, serviu como base para muitos desenvolvimentos futuros na física, tais como relatividade restrita e sua unificação do campos magnéticos e elétricos como uma única quantidade tensorial, e a Teoria de Kaluza-Klein da unificação do eletromagnetismo com gravidade e a relatividade geral.

Índice

1 Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade
2 Sumário das equações
3 Detalhamento
4 Equações de Maxwell em unidades CGS
5 Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial
6 Equações de Maxwell em termos de formas diferenciais
7 Eletrodinâmica clássica em um espaço fibrado
8 Ver também
9 Referências

[editar] Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade

As formulações de Maxwell em 1865 estavam em termos de 20 equações de 20 variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares do que chamamos de "Equações de Maxwell" — a Lei de Ampère corrigida (equação de três componentes), Lei de Gauss para carga (uma equação), a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento (três equações), a relação entre campo magnético e o vetor potencial (equação de três componentes, que implica a ausência de carga magnética), o relacionamento entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial (equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday), o relacionamento entre campos elétrico e de deslocamento (equações de três componentes), Lei de Ohm relacionando intensidade de corrente e campo elétrico (equações de três componentes), e a equação de continuidade relacionando intensidade de corrente e densidade de carga (uma equação).

Deve-se a formulação matemática moderna das equações de Maxwell a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema de equações original em uma representação mais simples utilizando cálculo vetorial. (Em 1873 Maxwell também publicou notação de base de quaterniões que acabou se tornando impopular.) A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.

No final do século XIX, por causa da aparência da velocidade,

$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$

nas equações, as equações de Maxwell foram tidas como servindo apenas para expressar o eletromagnetismo no referencial inercial do éter luminífero (o meio postulado para a luz, cuja interpretação foi consideravelmente debatida). O experimentos de Michelson-Morley, conduzido por Edward Morley e Albert Abraham Michelson, produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentz e outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.

As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de considerações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades (em relatividade, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo anti-simétrico de ordem 2, o que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto).

Kaluza e Klein demonstraram na década de 1920 que as equações de Maxwell podem ser derivadas ao se estender a relatividade geral a cinco dimensões. Esta estratégia de se usar dimensões maiores para unificar diferentes forças é uma área de interesse ativo na pesquisa da física de partículas.

[editar] Sumário das equações

As variáveis em negrito nas equações representam campos vetoriais ou vetores, as integrais $\int\!\!\!\oint_S$ são integrais de superfície sobre uma superfície "fechada" $\mathbf{S}$ , as integrais $\int\!\!\!\int_S$ são integrais de superfície em uma superfície aberta $\mathbf{S}$ e as integrais $\oint_c$ são integrais de linha em um caminho $\mathbf{c}$ .

[editar] Caso geral

Nome	Diferencial parcial	Integral Forma integral
Lei de Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_V$	$\int\!\!\!\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = Q_{\mathrm{englobado}} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_V \rho_V dV$
Lei de Gauss para o magnetismo (ausência de monopolos magnéticos):	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\int\!\!\! \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0$
Lei da indução de Faraday:	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int\!\!\!\int_{S} \ {d\mathbf{B}\over dt} \cdot d\mathbf{s}$
Lei de Ampère + extensão de Maxwell:	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\mathrm{englobado}} + \frac{d \mathbf{\Phi_D}}{dt}$

onde:

ρ V

é a densidade volumétrica de carga elétrica (unidade SI: coulomb por metro cúbico), não incluindo dipólos de cargas ligadas no material

$\mathbf{B}$ é a densidade superficial de fluxo magnético (unidade SI: tesla), também chamada de indução magnética.

$\mathbf{D}$ é o campo elétrico de deslocamento ou densidade superficial de campo elétrico (unidade SI: coulomb por metro quadrado).

$\mathbf{E}$ é a intensidade de campo elétrico (unidade SI: volt por metro),

$\mathbf{H}$ é a intensidade de campo magnético (unidade SI: ampère por metro)

$\mathbf{J}$ é a densidade superficial de corrente elétrica (unidade SI: ampère por metro quadrado)

$\nabla$ é o operador nabla que em coordenadas cartesianas pode ser escrito como $\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{\hat{x}}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{\hat{y}}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{\hat{z}}$

$\nabla \cdot$ é o divergente do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro),

$\nabla \times$ é o rotacional do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro).

[editar] Unidades

Note que embora as unidades SI sejam dadas aqui para os vários símbolos, as equações de Maxwell permanecem inalteradas em muitos sistemas de unidades (e com somente minutas alterações em todas os outros). O sistema mais usualmente empregado é o de unidades SI, usadas em engenharia, electrônica e a maior parte dos experimentos práticos de física, e as unidades de Planck (também conhecidas como "unidades naturais"), usadas em física teórica, física quântica e cosmologia. Um sistema mais antigo de unidades, o Sistema CGS de unidades, é algumas vezes usado também.

A segunda equação define a inexistência de monopólos magnéticos. A força exercida sobre uma partícula carregada por um campo elétrico e um campo magnético é definida pela equação de força de Lorentz:

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$

no qual $q \$ é a carga da partícula e $\mathbf{v} \$ a velocidade da partícula. Note que esta equação é expressa de outra forma no sistema CGS, abaixo.

É importante notar que as equações de Maxwell são geralmente aplicáveis a "médias macroscópicas" dos campos, os quais podem variar violentamente numa escala microscópica na vizinhança de átomos individuais (onde eles também se submetem a efeitos quânticos). É somente nesse sentido de média que se podem definir grandezas tais como a permissividade e a permeabilidade de um material, abaixo. (As equações microscópicas de Maxwell, desprezando-se efeitos quânticos, são aquelas simplesmente do vácuo; mas se necessita incluir todas as cargas atômicas e assim por diante, o que é normalmente um problema intratável.)

[editar] Em materiais lineares

Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

nos quais:

ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica.

μ é a permeabilidade magnética.

(Isto pode realmente ser estendido para lidar também com materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependendo da intensidade do campo; veja, por exemplo, o efeito Kerr e o efeito Pockels.

Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B / \mu} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Em um meio uniforme (homogêneo) ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas ainda além disso com as derivadas espaciais.

Mais geralmente, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem (matrizes 3×3) descrevendo materiais birrefringentes (anisotrópicos).

Além disso, embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da freqüência (e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig).

[editar] No vácuo, sem cargas ou correntes

O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε₀ e μ₀ (desprezando pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos). Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase, deslocando-se com velocidade

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Maxwell descobriu que esta quantidade "c" é simplesmente a velocidade da luz no vácuo, e portanto que a luz é uma forma de radiação eletromagnética.

[editar] Detalhamento

[editar] Densidade de carga e campo elétrico

A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:

$Q_{\mbox{englobado}} = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \rho_V dV$

pela teorema da Divergência: $\int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV = \int\!\!\! \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A}$

e pela Lei de Gauss:

$\int \!\!\! \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\mbox{englobado}}$ logo

$\int \!\!\! \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV$

onde $d\mathbf{A}$ é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direcção, e $Q englobado$ é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

$\int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \rho_V dV$ logo $\longrightarrow$ $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_V$ ,

onde $ρ$ é a densidade de carga elétrica livre (em unidades de C/m³), não incluindo dipólos de cargas ligadas no material, e $\mathbf{D}$ é o campo deslocamento elétrico (em unidades de C/m²). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, $\mathbf{D}$ é diretamente relacionado ao campo elétrico $\mathbf{E}$ via uma constante dependente do material chamada a permissividade $ε$ :

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$ .

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como $ε 0$ , e aparece em:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_t}{\varepsilon_0}$

onde, novamente, $\mathbf{E}$ é o campo elétrico (em unidades of V/m), $ρ t$ é densidade de carga total (incluindo as cargas ligadas), e $ε 0$ (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade no vácuo. $ε$ também pode ser escrito como $\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r$ , onde $ε r$ é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.

Compare com a equação de Poisson.

[editar] A estrutura do campo magnético

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\mathbf{B}$ é a densidade de fluxo magnético (em unidades de tesla, T), também chamada a indução magnética.

Forma integral equivalente:

$\int\!\!\!\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$

$d\mathbf{A}$ é a área de um quadrado diferencial $A$ com uma normal superficial apontando para fora definindo sua direção.

Nota: semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação somente funciona se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.

Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque afirma que àquele dado elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. Estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético devem ser linhas (trajetórias) fechadas. Outra maneira de se afirmar isso é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar; tentando seguir as linhas de volta à sua fonte de volta à posição original. Portanto, esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopólos magnéticos.

[editar] Campos magnéticos e elétricos variáveis

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac {\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

Forma integral equivalente: Usando o teorema de Stokes temos:

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$

e como pela lei de Faraday :

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac {\partial \Phi_{\mathbf{B}}} {\partial t}$ onde $\Phi_{\mathbf{B}} = \int\!\!\! \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$

logo

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = -\frac{\partial}{\partial t}\int\!\!\!\int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \int\!\!\!\int_{S} -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A}$

onde

Φ_B é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético

c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio.

S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz (algumas vezes denotada como $\mathcal{E}$ , não deve ser confundida com a permissividade acima) é igual ao valor desta integral.

Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.

Nota: alguns livros-textos mostram o lado direito do sinal da integral com um N (representando o número de espiras de fio que estão a volta da aresta de A) na frente da derivada do fluxo. O N pode ser tomado com cuidado no cálculo de A (múltiplas espiras de fio significam múltiplas superfícies que o fluxo deve atravessar), e isto é um detalhe de engenharia tal que isto foi omitido aqui.

Note o sinal negativo; isto é necessário para manter a conservação da energia. Isto é tão importante que tem seu próprio nome, lei de Lenz.

Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a "voltagem" pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado.

Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.

Nota: As equações de Maxwell aplicam-se a um sistema de coordenada destro. Aplicá-las inalteradas a um sistema de coordenadas esquerdo significaria uma troca de polaridade dos campos magnéticos (não inconsistentemente, mas confusamente contra a convenção).

[editar] A fonte do campo magnético

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac {\partial \mathbf{D}} {\partial t}$

onde H é a intensidade de campo magnético (em unidades de A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética, μ (B = μH), e J é a densidade de corrente, definida por: $\mathbf{J} = \rho_q\mathbf{v}$ onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar $ρ q$ .

Utilizando o Teorema de Stokes temos:

$\int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{H}\cdot d\mathbf{A} = \oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}$

logo:

$\oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}$

Lei de Ampere: $\oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A}= I_{circulada}$

Contribuição de Maxwell: $\int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}$

$\oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{circulada} + \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}$

I_circulada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação:

$I_{passa por S} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A}$ .

No vácuo, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço vazio, μ₀, que é definida como sendo exactamente 4π×10^-7 W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε₀. Portanto, no vácuo, a equação torna-se:

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

Forma integral equivalente:

$\int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \oint_c \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mbox{circulada}} + \mu_0\varepsilon_0 \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d \mathbf{A}$

s é a aresta de uma superfície A (qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá servir), e I_circulada é a corrente circulada pela curva s (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: I_{através de A} =∫_AJ dA.)

Nota: se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o segundo termo do membro direito (o fluxo de deslocamento) é desprezível, e a equação se reduz à lei de Ampère.

[editar] Equações de Maxwell em unidades CGS

As equações acima são dadas no Sistema Internacional de Unidades, ou SI para abreviar. No sistema de unidades CGS, as equações tomam forma mais simétrica, como segue:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}$

Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela equação da força de Lorentz equação:

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}),$

onde $q \$ é a carga da partícula e $\mathbf{v} \$ é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da expressão do SI acima. Por exemplo, aqui o campo magnético $\mathbf{B} \$ tem as mesmas unidades do campo elétrico $\mathbf{E} \$ .

Nota: Todas as variáveis que são dadas em negrito representam grandezas vectoriais.

[editar] Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial

Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell (no vácuo) tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas em termos de 4-vetores e 4-tensor na forma "manifestamente covariante" :

$J^\beta = \partial_\alpha F^{\alpha\beta} \,\!$ ,

$0 = \partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma} \,\!$

onde J é a 4-corrente, F é o tensor intensidade de campo (tensor de Faraday) (escrito como uma matriz 4 × 4 ), e $\partial_\alpha = (\partial/\partial ct, \nabla)$ é o 4-gradiente (tal que $\partial_\alpha \partial^\alpha$ seja o operador d'Alembertiano). (O α na primeira equação é implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein.) A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.

Mais explicitamente, J = (cρ, J) (como um vector contravariante ), em termos da densidade de carga ρ e a densidade de corrente J. Em termos do 4-potenciall (como um vector contravariante,) $\tilde{A}^{\alpha} = \left(\phi, \mathbf{A} c \right)$ , onde φ é o potencial elétrico e A é o potencial vector magnético pelo calibre de Lorenz $\left ( \partial_\alpha \tilde{A}^\alpha = 0 \right )$ , F pode ser expresso como:

$F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha \tilde{A}^\beta - \partial^\beta \tilde{A}^\alpha \,\!$

o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de 2a ordem):

$F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) .$

O fato de que ambos os campos eléctrico e magnético são combinados em um único tensor expressa que, de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa— pela troca dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo magnético em outro referencial, e vice-versa.

(Veja Quadripotencial electromagnético para o relacionamente entre o d'Alembertiano do quadripotencial e a quadricorrente, expressa em termos da antiga notação de operadores vectoriais).

Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e 4-vetores (o que não afeta a interpretação física). Note também que F^αβ e F_αβ não são os mesmos: eles são as formas do tensor contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade especial o tensor métrico introduz as mudanças de sinal em alguns components de F; dualidades métricas mais complexas são encontradas na relatividade geral .

[editar] Equações de Maxwell em termos de formas diferenciais

No vácuo, onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma numa variedade espaço-temporal 4-dimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi

$d\bold{F}=0$

onde d é a derivada exterior, e a equação fonte

$d*\bold{F}=*\bold{J}$

onde o asterisco * é a Hodge star. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε₀ é 1. Aqui, J é a 1-forma chamada a "corrente eléctrica" satisfazendo a equação da continuidade

$d*\bold{J}=0$

[editar] Eletrodinâmica clássica em um espaço fibrado

A formulação mais concisa e abrangente das equações de Maxwell e da electrodinâmica clássica em geral é como um espaço fibrado com fibra U(1). A conexão no espaço fibrado é d+A com A o 4-vector compreendendo o potencial eléctrico e o potencial vector magnético. A curvatura da conexão F=dA é a intensidade de campo. Embora a princípio a reformulação como um espaço fibrado possa parecer ao estudante médio como uma curiosidade matemática sem sentido, há um resultado criticamente importante que mostra que esta é a abordagem correta: a holonomia em um espaço fibrado descreve o efeito Aharonov-Bohm. Embora o efeito Aharonov-Bohm seja algumas vezes admitido como um efeito quântico, sua explicação não requer qualquer quantização do campo electromagnético. O efeito pode ser entendido em termos puramente clássicos como a holonomia de uma curva em um espaço fibrado. Sem a formulação do espaço fibrado, o efeito Aharonov-Bohm parece ser uma fantasmagórica acção a distância, inexplicável pelas tradicionais equações de Maxwell . (Veja Micheal Murray, Line Bundles, 2002 (PDF web link) para uma revisão matemática simples desta formulação. Veja também R. Bott, On some recent interactions between mathematics e physics, Canadian Mathematical Bulliten, 28 (1985) )no. 2 pp 129-164.)

[editar] Ver também

Teoria galvânica para maiores detalhes
Cálculo vectorial
Unidades naturais
Unidades Lorentz-Heaviside

[editar] Referências

James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Este artigo acompanha uma apresentação de 8 de dezembro de 1864 à Royal Society.)
James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity e Magnetism, 3rd ed., vols. 1-2 (1891) (reprinted: Dover, New York NY, 1954; ISBN 0-486-60636-8 e ISBN 0-486-60637-6).
John David Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley, New York, 1998).
Edward M. Purcell, Electricity e Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985).
Banesh Hoffman, Relativity e Its Roots (Freeman, New York, 1983).
Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
Fitzpatrick, Richard, "Lecture series: Relativity e electromagnetism". Advanced Classical Electromagnetism, PHY387K. University of Texas at Austin, Fall 1996.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Fornece um tratamento das equações de Maxwell em termos de formas diferenciais.)

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../e/q/u/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Maxwell_eb0f.html"

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[editar] Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade

[editar] Sumário das equações

[editar] Caso geral

[editar] Unidades

[editar] Em materiais lineares

[editar] No vácuo, sem cargas ou correntes

[editar] Detalhamento

[editar] Densidade de carga e campo elétrico

[editar] A estrutura do campo magnético

[editar] Campos magnéticos e elétricos variáveis

[editar] A fonte do campo magnético

[editar] Equações de Maxwell em unidades CGS

[editar] Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial

[editar] Equações de Maxwell em termos de formas diferenciais

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