Número cardinal

Alef-0, el cardenal infinito más pequeño

En matemáticas , los números cardinales, o cardenales, para abreviar, son una especie generalizada del número usado para denotar el tamaño de una establecer, conocido como su cardinalidad. Para conjuntos finitos la cardinalidad es dada por un número natural , siendo simplemente el número de elementos en el conjunto. También hay números cardinales transfinitos para describir los tamaños de los conjuntos infinitos. Por un lado, un subconjunto propio de un Un infinito conjunto S puede tener la misma cardinalidad que S. Por otro lado, quizás también counterintuitively, no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad. Hay una caracterización formal que explica cómo algunos conjuntos infinitos tienen cardinalidades que son estrictamente más pequeño que otros conjuntos infinitos.

Los números cardinales son: . Es decir, que son los números naturales (cardenales finitos) seguido por la números aleph (cardenales infinitos). Los números aleph son indexados por los números ordinales . Los números naturales y números aleph son subclases de los números ordinales. Si el axioma de elección falla, la situación se vuelve más complicada - hay cardenales infinitos adicionales que no están alephs.

Conceptos de cardinalidad se incrustan en la mayoría de las ramas de las matemáticas y son esenciales para su estudio. Cardinalidad es también un área de estudio por sí mismo como parte de la teoría de conjuntos , sobre todo al tratar de describir las propiedades de grandes cardinales.

Historia

La noción de cardinalidad, como ahora se entiende, fue formulada por Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , en 1874-1884.

Cantor estableció por primera vez cardinalidad como instrumento para comparar conjuntos finitos; por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales, pero tienen la misma cardinalidad, que son tres.

Cantor identificó el hecho de que uno-a-uno es la manera de decir que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, llamado "cardinalidad", en el caso de conjuntos finitos. El uso de este correspondencia uno-a-uno, aplicó el concepto de conjuntos infinitos; por ejemplo, el conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}. Llamó a estos números cardinales números cardinales transfinitos y definidos todos los conjuntos que tienen un uno-a-uno con N sean conjuntos numerables (infinito numerable).

Nombrar este número cardinal , aleph-null, Cantor demostró que cualquier subconjunto acotado de N tiene la misma cardinalidad que N, aunque esto podría parecer a primera ir en contra de la intuición. También demostró que el conjunto de todos pares ordenados de números naturales es numerable (lo que implica que el conjunto de todos los números racionales es numerable), y más tarde demostraron que el conjunto de todos números algebraicos también es numerable. Cada número z algebraica puede ser codificada como una secuencia finita de números enteros que son los coeficientes de la ecuación polinómica de la cual es la solución, es decir, el orden N-tupla junto con un par de números racionales tal que z es la raíz única del polinomio con coeficientes que se encuentra en el intervalo .

En su artículo de 1874, Cantor demostró que existen los números cardinales de orden superior al mostrar que el conjunto de números reales tiene cardinalidad mayor que la de N. Su presentación original utiliza un argumento complejo con intervalos anidados, pero en un documento de 1891 que demostró el mismo resultado utilizando su ingenioso pero sencillo argumento diagonal. Este nuevo número cardinal, llamado el cardinalidad del continuo, se denominó c por Cantor.

Cantor desarrollado también una gran parte de la teoría general de los números cardinales; demostró que hay un número cardinal transfinito más pequeño ( , Aleph-null) y que por cada número cardinal, hay una mayor siguiente cardenal .

Su hipótesis del continuo es la proposición de que c es la misma que , Pero esto se ha encontrado para ser independiente de los axiomas de la teoría estándar conjunto matemático; que puede ser probada ni refutada bajo los supuestos estándar.

Motivación

En el uso informal, un número cardinal es lo que normalmente se conoce como un número de seguimiento , siempre que 0 se incluye: 0, 1, 2, .... Ellos pueden ser identificados con los números naturales empezando por 0. Los números de contar son exactamente lo que se puede definir formalmente como el números cardinales finitos. Cardinales infinitos sólo se producen en las matemáticas de nivel superior y la lógica.

Más formalmente, un número distinto de cero se puede utilizar para dos propósitos: para describir el tamaño de un conjunto, o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Para los conjuntos y secuencias finitas, es fácil ver que estas dos nociones coinciden, ya que por cada número que describe una posición en una secuencia que podemos construir un conjunto que tiene exactamente el tamaño adecuado, por ejemplo 3 describe la posición de 'c' en la secuencia <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, y podemos construir el conjunto {a, b, c}, que tiene 3 elementos. Sin embargo cuando se trata de conjuntos infinitos es esencial distinguir entre los dos - las dos nociones son de hecho diferente para conjuntos infinitos. Teniendo en cuenta el aspecto postura conduce a los números ordinales, mientras que el aspecto tamaño es generalizada por los números cardinales descritos aquí.

La intuición detrás de la definición formal de cardinal es la construcción de una idea del tamaño relativo o la "grandeza" de un conjunto sin hacer referencia a la clase de los miembros de los que tiene. Para conjuntos finitos esto es fácil; uno simplemente cuenta el número de elementos de un conjunto tiene. Con el fin de comparar los tamaños de los conjuntos más grandes, es necesario apelar a nociones más sutiles.

Un conjunto Y es al menos tan grande como, o mayor que o igual a un conjunto X si hay una inyectiva (uno-a-uno) mapeo de los elementos de X a los elementos de Y. Un mapeo uno a uno identifica a cada elemento del conjunto X con un elemento único del conjunto Y. Esto es más fácil de entender con un ejemplo; supongamos que tenemos los conjuntos X = {1,2,3} y Y = {a, b, c, d}, entonces el uso de esta noción de tamaño se podría observar que existe un mapeo:

1 → a

2 → b

3 → c

que es uno-a-uno, y por lo tanto la conclusión de que Y tiene cardinalidad mayor que o igual a x. Tenga en cuenta el elemento d no tiene ningún elemento de mapeo a la misma, pero esto está permitido, ya que sólo requiere un mapeo uno a uno, y no necesariamente un uno-a-uno y en la cartografía. La ventaja de este concepto es que puede extenderse a conjuntos infinitos.

Entonces podemos extender esto a una relación de estilo igualdad. Dos conjuntos X e Y se dice que tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre X e Y. Por el Schroeder-Bernstein teorema, esto es equivalente a que hay tanto un mapeo uno a uno de X a Y y un mapeo uno a uno de Y a X. Luego escribimos | X | = | Y |. El número cardinal de sí X se define a menudo como el menos ordinal a con | a | = | X |. Esto se llama el von Neumann asignación cardenal; para esta definición tenga sentido, debe probarse que todo conjunto tiene la misma cardinalidad que algunos ordinal; esta declaración es la Principio de buena ordenación. Sin embargo, es posible discutir la cardinalidad relativo de conjuntos sin asignar explícitamente los nombres de los objetos.

El ejemplo clásico utilizado es el de la paradoja de hotel infinita, también llamado El hotel infinito de Hilbert. Supongamos que usted es un gerente en un hotel con un número infinito de habitaciones. El hotel está lleno, y luego llega un nuevo huésped. Es posible instalar el invitado extra en preguntando al huésped que estaba en la habitación 1 para pasar a la habitación 2, el huésped de la habitación 2 para pasar a la habitación 3, y así sucesivamente, dejando espacio 1 vacante. Podemos escribir explícitamente un segmento de este mapeo:

1 ↔ 2

2 ↔ 3

3 ↔ 4

...

n ↔ n + 1

...

De esta manera podemos ver que el conjunto {1,2,3, ...} tiene la misma cardinalidad que el conjunto {2,3,4, ...} desde una biyección entre la primera y la segunda se ha demostrado . Esto motiva la definición de un conjunto infinito de ser cualquier conjunto que tiene un subconjunto propio de la misma cardinalidad; en este caso, {2,3,4, ...} es un subconjunto propio de {1,2,3, ...}.

Al considerar estos objetos de gran tamaño, también puede ser que desee para ver si la noción de orden contando coincide con la del cardenal definido anteriormente para estos conjuntos infinitos. Sucede que no lo hace; considerando el ejemplo anterior, podemos ver que si existe algún objeto "uno más grande que el infinito", entonces debe tener la misma cardinalidad que el conjunto infinito empezamos con. Es posible utilizar una noción formal de diferente para número, llamado ordinales, basada en las ideas de contar y considerando cada número, a su vez, y descubrimos que las nociones de cardinalidad y ordinalidad son divergentes vez nos salimos de los números finitos.

Se puede demostrar que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales se acaban de describir. Esto puede ser visualizado utilizando Argumento diagonal de Cantor; preguntas clásicas de cardinalidad (por ejemplo, la hipótesis del continuo) se ocupa de descubrir si hay algún cardenal entre algún par de otros cardenales infinitos. En tiempos más recientes, los matemáticos han estado describiendo las propiedades de los cardenales más y más grandes.

Desde cardinalidad es un concepto tan común en las matemáticas, una variedad de nombres están en uso. Igualdad de cardinalidad se refiere a veces como equipotence, equipolencia o equinumerosity. Por lo tanto, se dice que dos conjuntos con el mismo cardinalidad son, respectivamente, equipotentes, equiparada, o equinumerous.

Definición formal

Formalmente, suponiendo que la axioma de elección, la cardinalidad de un conjunto X es la α menos ordinal tal que existe una biyección entre X e α. Esta definición se conoce como el von Neumann asignación cardenal. Si no se asume el axioma de elección que tenemos que hacer algo diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícito en Frege y Principia Mathematica) es como el conjunto de todos los conjuntos que son equinumerous con X: esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de la teoría axiomática de conjuntos , porque esta colección es demasiado grande como para ser un juego, pero funciona en escriba la teoría y en Nuevas Fundaciones y sistemas relacionados. Sin embargo, si se restringe de esta clase para aquellos equinumerous con X que tienen menos rango, entonces va a trabajar (esto es un truco debido a Dana Scott: funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto).

Formalmente, el orden entre números cardinales se define de la siguiente manera: | X | ≤ | Y | significa que existe una función inyectiva de X a Y. La Cantor-Bernstein-Schroeder teorema establece que si | X | ≤ | Y | y | Y | ≤ | X | Y | X | = | Y |. La axioma de elección es equivalente a la afirmación de que da dos conjuntos X e Y, o bien | X | ≤ | Y | o | Y | ≤ | X |.

Un conjunto X es Dedekind-infinito si existe un subconjunto propio de X con Y | X | = | Y |, y Dedekind-finito si un subconjunto tal no existe. La cardenales finitos son sólo los números naturales , es decir, un conjunto X es finito si y sólo si | X | = | n | = n para algún número natural n. Cualquier otro conjunto es infinito. Suponiendo que el axioma de elección, se puede demostrar que las nociones de Dedekind corresponden a las estándar. También se puede probar que el cardenal (Aleph-0, donde aleph es la primera letra en el Alfabeto hebreo, representado ) Del conjunto de los números naturales es el cardenal infinito más pequeño, es decir, que cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto de cardinalidad El siguiente cardinal más grande se denota por etcétera. Para cada α ordinal hay un número cardinal y esta lista agota todos los números cardinales infinitos.

Cardenal aritmética

Podemos definir aritméticas operaciones en números cardinales que generalizan las operaciones ordinarias de números naturales. Se puede demostrar que, para los cardenales finitos estas operaciones coinciden con las operaciones habituales para números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria.

Sucesor cardenal

Si el axioma de elección se mantiene, cada κ cardinal tiene un sucesor κ ^+> κ, y no hay cardenales entre κ y su sucesor. Para cardenales finitos, el sucesor es simplemente κ + 1. Para cardinales infinitos, el cardenal sucesor difiere de la ordinal sucesor.

Además cardenal

Si X e Y son disjuntos, además está dada por la unión de X e Y. Si los dos conjuntos no son ya disjuntos, entonces pueden ser sustituidas por conjuntos disjuntos, es decir, reemplazar X por X × {0} e Y por Y × {1}.

Cero es un κ identidad aditiva + 0 = 0 + κ = κ.

La adición es asociativa (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

La adición es conmutativa κ + μ = μ + κ.

Además es no decreciente en los dos argumentos:

Si el axioma de elección tiene, además de los números cardinales infinitos es fácil. Si cualquiera o es infinito, entonces

Sustracción

Si el axioma de elección sostiene y da una σ cardinal infinito y un μ cardenal, habrá un cardenal κ tal que μ + σ κ = si y sólo si μ ≤ σ. Será único (e igual a σ) si y sólo si μ <σ.

Cardenal multiplicación

El producto de cardenales proviene de la producto cartesiano.

κ · 0 = 0 · κ = 0.

κ · μ = 0 (Κ = 0 o μ = 0).

Uno es un κ identidad multiplicativa · 1 = 1 · κ = κ.

La multiplicación es asociativa (κ · μ) · ν = κ · (μ · ν).

La multiplicación es conmutativa κ · μ = μ · κ.

La multiplicación es no decreciente en los dos argumentos: κ ≤ μ (Κ ν ≤ μ · · ν y ν · κ ≤ ν · μ).

Multiplicación distribuye sobre la suma: κ · (μ + ν) = κ · μ + κ · ν y (μ + ν) · κ = μ · κ + ν · κ.

Si el axioma de elección se mantiene, la multiplicación de números cardinales infinitos también es fácil. Si bien κ o μ es infinita y ambos no son cero, entonces

División

Si el axioma de elección sostiene y da un π cardinal infinito y un cardenal μ distinto de cero, habrá un cardenal κ tal que μ · κ = π si y sólo si μ ≤ π. Será único (e igual a π) si y sólo si μ <π.

Cardenal exponenciación

Exponenciación está dada por

donde X ^Y es el conjunto de todas las funciones de Y a X.

κ ⁰ = 1 (en particular 0 ⁰ = 1), ver función vacía.

Si 1 ≤ μ, entonces 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ = ¹ κ.

^κ μ ^{+ ν} = ^κ μ · κ ^ν.

^κ μ ^{· ν} = ^(κ μ) ^ν.

(Κ · μ) ^ν = κ ^ν · ^ν μ.

Si κ y μ son ambos finito y mayor que 1, y ν es infinito, entonces κ ^ν = μ ^ν.

Si κ es infinito y μ es finita y no nula, entonces κ ^μ = κ.

Exponenciación es no decreciente en los dos argumentos:

(1 ≤ μ ν y ≤ κ) ^(Ν κ ≤ ν μ) y

(Κ ≤ μ) ^(Κ ν ≤ μ ν).

Tenga en cuenta que 2 ^{| X |} es la cardinalidad de la conjunto potencia del conjunto X y Argumento diagonal de Cantor muestra que 2 ^{| X |>} | X | X para cualquier conjunto. Esto demuestra que no existe mayor cardinal (porque para cualquier κ cardinales, siempre podemos encontrar un cardenal más grande 2 ^κ). De hecho, la clase de los cardenales es un clase adecuada.

Si el axioma de elección y tiene 2 ≤ κ y 1 ≤ μ y al menos uno de ellos es infinito, entonces:

Max (κ, 2 ^μ) ≤ κ ^μ ≤ Max (2 ^κ, 2 ^μ).

Uso Teorema de König, uno puede llegar κ <κ ^{cf (κ)} y κ <cf (2 ^κ) para cualquier κ cardinales infinitos, donde cf (κ) es el cofinality de κ.

Ni las raíces ni logaritmos se pueden definir de forma única para los cardenales infinitos.

El logaritmo de un número cardinal κ infinita se define como el menor número cardinal μ tal que κ ≤ 2 ^μ. Los logaritmos de cardinales infinitos son útiles en algunos campos de las matemáticas, por ejemplo, en el estudio de invariantes cardinales de espacios topológicos, a pesar de que carecen de algunas de las propiedades que los logaritmos de los números reales positivos poseen.

La hipótesis del continuo

La continuum hipótesis (CH) afirma que no hay cardenales estrictamente entre y El número cardinal último también es a menudo denotado por c; es el cardinalidad del continuo (el conjunto de los números reales ). En este caso La hipótesis del continuo generalizada (GCH) afirma que para cada conjunto infinito X, no hay cardenales estrictamente entre | X | y 2 ^{| X |.} La hipótesis del continuo es independiente de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos, la Zermelo-Fraenkel axiomas junto con el axioma de elección ( ZFC).