Número Natural

En las matemáticas , un número natural (también llamado número de recuento) puede significar tanto un elemento del conjunto { 1 , 2, 3, ...} (la positivos enteros ) o un elemento del conjunto { 0 , 1, 2, 3, ...} (la enteros no negativos). El primero se utiliza generalmente en la teoría de números , mientras que el último es el preferido en la lógica matemática, teoría de conjuntos , y ciencias de la computación . Vea a continuación una definición formal.

Los números naturales tienen dos propósitos principales: pueden ser utilizados para contando ("hay 3 manzanas en la mesa"), y pueden ser utilizados para ordenar ("esta es la ^3ª ciudad más grande del país").

Propiedades de los números naturales relacionados con la divisibilidad , tales como la distribución de los números primos , se estudian en la teoría de números . Problemas relacionados con el conteo, como Teoría de Ramsey, se estudian en la combinatoria .

Los números naturales se pueden utilizar para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, ...).

Historia de los números naturales y el estado de cero

Los números naturales tuvieron su origen en las palabras que se usan para contar cosas, empezando por el número uno.

El primer gran avance en la abstracción fue el uso de números para representar números. Esto permitió que los sistemas que se desarrollen para el registro de los grandes números. Por ejemplo, los babilonios desarrollaron una poderosa sistema de valor basada esencialmente en los números de 1 y 10. La antigua Egipcios tenían un sistema de números con distinto jeroglíficos para 1, 10, y todas las potencias de 10 hasta un millón. Una talla de piedra de Karnak, que data de alrededor de 1500 aC, y ahora en el Louvre en París, representa a 276 como 2 centenas, decenas y 7 6 unidades; y lo mismo para el número 4622.

Un avance mucho más tarde en la abstracción fue el desarrollo de la idea de cero como un número con su propio número. Un cero dígitos se había utilizado en la notación de valor posicional ya en el año 700 AC por los babilonios, pero omitieron cuando habría sido el último símbolo de la serie. El olmeca y la civilización Maya utiliza cero como un número separado ya en el siglo primero antes de Cristo, al parecer desarrollado de manera independiente, pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica. El concepto que se utiliza en los tiempos modernos se originó con el indio matemático Brahmagupta en 628. Sin embargo, medieval computistas (calculadoras de Pascua ), que comienzan con Dionisio el Exiguo en el 525, utiliza cero como un número sin utilizar un número romano para escribirla. En lugar nullus, la palabra latina para "nada", se empleó. El primer estudio sistemático de los números abstracciones (es decir, como resumen entidades) por lo general se le atribuye a los griegos filósofos Pitágoras y Arquímedes . Sin embargo, estudios independientes también ocurrieron aproximadamente al mismo tiempo en la India , de China , y Mesoamérica.

En el siglo XIX, una configuración teórica definición de los números naturales se desarrolló. Con esta definición, que era más conveniente incluir cero (correspondiente a la conjunto vacío) como un número natural. Esta convención es seguido por los teóricos establecidos , lógicos y científicos de la computación . Otros matemáticos, principalmente teóricos de números , a menudo prefieren seguir la tradición más antigua y consideran cero no ser un número natural.

Notación

Los matemáticos usan N o (N en una pizarra negrita, muestra como ℕ en Unicode) para referirse a la conjunto de todos los números naturales. Este conjunto es infinito numerable: es infinita pero contable por definición. Esto también se expresa diciendo que el número cardinal del conjunto es Módulo: Aleph_number ( hablar · · hist · Enlaces · subpáginas · pruebas - los resultados) ( ).

Para ser claros acerca de si cero se incluye o no, a veces un índice "0", se añade en el primer caso, y un exponente "*", se añade en el último caso:

ℕ ₀ = {0, 1, 2, ...}; ℕ ^* = {1, 2, ...}.

(A veces, un índice o exponente "+" se añade a significar "positiva". Sin embargo, esto a menudo se utiliza para "no negativo" en otros casos, como R ⁺ = [0, ∞) y Z ⁺ = {0, 1, 2, ...}, al menos en la literatura europea. La notación "*", sin embargo, es estándar para distinto de cero o más bien elementos invertible.)

Algunos autores que excluyen a cero de los naturales usan los números enteros plazo, denotados , Para el conjunto de los enteros no negativos. Otros utilizan la notación para los números enteros positivos.

Teóricos Set menudo denotan el conjunto de todos los números naturales por una letra griega minúscula omega: ω. Cuando se utiliza esta notación, el cero se incluye explícitamente como un número natural.

Propiedades algebraicas

Las definiciones formales

Históricamente, la definición matemática precisa de los números naturales se desarrolló con cierta dificultad. La Peano postula condiciones de estado que cualquier definición de éxito debe satisfacer. Ciertas construcciones muestran que, dada la teoría de conjuntos , deben existir modelos de los postulados de Peano.

Axiomas de Peano

• Hay un número natural 0.
• Cada número natural tiene un sucesor número natural, denotado por S (a).
• No existe un número natural cuyo sucesor es 0.
• Números naturales distintos sucesores tienen distintas: si a ≠ b, entonces S (a) ≠ S (b).
• Si una propiedad es poseída por 0 y también por el sucesor de todo número natural que posee, entonces es poseída por todos los números naturales. (Este postulado se asegura de que la técnica de prueba de inducción matemática es válida.)

Cabe señalar que el "0" en la definición anterior no necesita corresponden a lo que normalmente consideramos como el número cero. "0" significa simplemente un objeto que cuando se combina con una función sucesor adecuado, satisface los axiomas de Peano. Todos los sistemas que satisfacen estos axiomas son isomorfos, el nombre de "0" se utiliza aquí para el primer elemento, que es el único elemento que no es un sucesor. Por ejemplo, los números naturales empezando con uno también satisfacen los axiomas.

Construcciones en base a la teoría de conjuntos

Una construcción estándar

Una construcción estándar en la teoría de conjuntos , un caso especial de la ordinal von Neumann construcción, es definir los números naturales como sigue:

Establecemos 0: = {}, la conjunto vacío,

y definir S (a) = a ∪ {a} para cada conjunto a. S (a) es el sucesor de una, y S se llama la función sucesor.

Si el axioma de infinitud se mantiene, entonces existe el conjunto de los números naturales y es la intersección de todos los conjuntos que contienen 0 que están cerrados en esta función sucesor.

Si existe el conjunto de todos los números naturales, entonces se satisface la Axiomas de Peano.

Cada número natural es entonces igual al conjunto de números naturales menos de lo que, de modo que

• 0 = {}
• 1 = {0} = {{}}
• 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
• 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• n = {0,1,2, ..., n -2, -1 n} = {0,1,2, ..., n} -2 ∪ {n} = -1 (n -1) ∪ {n -1}

etcétera. Cuando usted ve un número natural que se utiliza como un conjunto, esto es normalmente lo que se quiere decir. Bajo esta definición, hay exactamente n elementos (en el sentido ingenuo) en el conjunto de n y n ≤ m (en el sentido ingenuo) si y sólo si n es un subconjunto de m.

Además, con esta definición, diferentes interpretaciones posibles de notaciones como R ⁿ (n-tuplas frente a las asignaciones de n en R) coinciden.

Incluso si el axioma del infinito falla y no existe el conjunto de los números naturales, es posible definir lo que significa ser uno de estos conjuntos. Un conjunto n es un número natural significa que es ya sea 0 (vacío) o un sucesor, y cada uno de sus elementos es 0 o el sucesor de otro de sus elementos.

Otras construcciones

Aunque la construcción estándar es útil, no es la única posible construcción. Por ejemplo:

uno podría definir 0 = {}

y S (a) = {a},

productor

0 = {}

1 = {0} = {{}}

2 = {1} = {{{}}}, etc.

O incluso podríamos definir 0 = {{}}

y S (a) = a U {a}

productor

0 = {{}}

1 = {{}, 0} = {{}, {{}}}

2 = {{}, 0, 1}, etc.

Podría decirse que la definición más antigua teoría de conjuntos de los números naturales es la definición comúnmente atribuido a Frege y Russell en las que cada número natural n concreto se define como el conjunto de todos los conjuntos con n elementos. Esto puede aparecer circular, pero puede ser hecho rigurosa con cuidado. Definir como 0 (Claramente el conjunto de todos los conjuntos de elementos con 0) y definir (Para cualquier conjunto A) como . Entonces 0 será el conjunto de todos los conjuntos de elementos con 0, será el conjunto de todos los conjuntos con 1 elemento, será el conjunto de todos los conjuntos de elementos con 2, y así sucesivamente. El conjunto de todos los números naturales se puede definir como la intersección de todos los conjuntos que contienen 0 como un elemento y cerrado bajo (Es decir, si el conjunto contiene un elemento n, también contiene ). Esta definición no funciona en los sistemas habituales de la teoría axiomática de conjuntos , porque las colecciones en cuestión son demasiado grandes (que no funcionará en cualquier teoría de conjuntos con la axioma de separación); pero funciona en Nuevos Fundamentos (y en los sistemas relacionados conocidos para ser consistentes) y en algunos sistemas de escriba teoría.

Para el resto de este artículo, seguimos la construcción estándar descrito anteriormente.

Propiedades

Uno puede definir de forma recursiva una adición de los números naturales mediante el establecimiento de un + 0 = A y A + S (b) = S (a + b) para todo a, b. Esto convierte a los números naturales (N, +) en un conmutativa monoide con elemento neutro 0, la denominada solución de monoide libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelación y puede ser embebido en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales son los números enteros .

Si definimos 1: = S (0), entonces b + 1 = b + S (0) = S (B + 0) = S (b). Es decir, b + 1 es simplemente el sucesor de b.

Análogamente, dado que la adición se ha definido, una multiplicación × se pueden definir a través de una × 0 = 0 y a × S (b) = (a × b) + a. Esto convierte (N ^*, x) en un monoide conmutativo libre con elemento de identidad 1; un grupo electrógeno para este monoide es el conjunto de números primos . La adición y la multiplicación son compatibles, que se expresa en el ley de distribución: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Estas propiedades de la suma y la multiplicación hacen los números naturales de una instancia de un conmutativa semiring. Semirings son una generalización algebraica de los números naturales, donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa.

Si interpretamos los números naturales como "excluyendo 0", y "a partir de 1", las definiciones de + y × son como antes, excepto que empezamos con un + 1 = S (A) y una × 1 = a.

Para el resto del artículo, escribimos ab para indicar el producto a × b, y también asumimos la norma orden de las operaciones.

Además, se define una total de la orden de los números naturales escribiendo una ≤ b si y sólo si existe otro número natural c con a + c = b. Esta orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc. Una propiedad importante de los números naturales es que son bien ordenado: todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento menos. El rango entre los conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número de orden ; para los números naturales esto se expresa como " ".

A pesar de que en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener un número natural como resultado de ello, el procedimiento de división con resto está disponible como un sustituto: para cualquier dos números naturales a y b con b ≠ 0 podemos encontrar naturales números q y r tales que

a = bq + r y r <b

El número q se llama cociente y r se denomina resto de la división de a entre b. El número q y r se determinan de forma única por a y b. Esto, la Algoritmo de la división, es clave para varias otras propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (tales como la Algoritmo de Euclides), y las ideas de la teoría de números.

Los números naturales incluyendo un formulario de cero monoide conmutativo bajo la adición (con elemento de identidad cero), y bajo la multiplicación (con elemento de identidad).

Las generalizaciones

Dos generalizaciones de los números naturales surgen de los dos usos:

• Un número natural se puede utilizar para expresar el tamaño de un conjunto finito; más generalmente un número cardinal es una medida para el tamaño de un conjunto también es adecuado para conjuntos infinitos; esto se refiere a un concepto de "tamaño" de tal manera que si hay una biyección entre dos conjuntos que tienen del mismo tamaño. El conjunto de los números naturales en sí y cualquier otro conjunto infinito numerable tiene cardinalidad Módulo: Aleph_number ( hablar · · hist · Enlaces · subpáginas · pruebas - resultados)

( ).

• Los números ordinales "primero", "segundo", "tercero" se pueden asignar a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de los conjuntos bien ordenados contable infinito como el conjunto de los números naturales en sí. Esto se puede generalizar a los números ordinales que describen la posición de un elemento en un orden establecido bien en general. Un número ordinal también se utiliza para describir el "tamaño" de un conjunto bien ordenada, en un sentido diferente de cardinalidad: si hay una isomorfismo orden entre dos conjuntos bien ordenados que tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como ; este es también el número ordinal del conjunto de números naturales en sí.

y han de distinguirse porque muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal tener un número ordinal mayor que , Por ejemplo, ; es el valor más bajo posible (la ordinal inicial).

Para conjuntos bien ordenados finitos hay uno-a-uno entre el número ordinal y cardinal; Por lo tanto, ambos pueden ser expresados por el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede utilizar para describir la posición de un elemento en un mayor finito, o un infinito, secuencia .

Otras generalizaciones son discutidos en el artículo sobre los números .