Aritmética

Tablas aritméticas para niños, Lausana, 1835

Aritmética o aritmética (del griego palabra ἀριθμός, arithmos " número ") es la rama más antigua y más elemental de las matemáticas , utilizado por casi todo el mundo, en tareas que van desde la simple día a día contando con avanzados de ciencia y negocios cálculos. Se trata el estudio de la cantidad , especialmente como resultado de operaciones que combinan números. En el uso común, se refiere a las propiedades más simples cuando se usa el tradicional operaciones de adición , sustracción , multiplicación y división con valores menores de números. Profesionales matemáticos a veces utilizan el término (mayor) aritmética cuando se refiere a los resultados más avanzados relacionados con la teoría de números , pero esto no debe confundirse con la aritmética elemental .

Historia

La prehistoria de la aritmética se limita a un pequeño número de artefactos que pueden indicar la concepción de la suma y la resta, el más conocido es el hueso Ishango de África central , que data de algún lugar entre 20.000 y 18.000 antes de Cristo, aunque su interpretación se cuestiona.

Los primeros registros escritos indican la Egipcios y Babilonios utilizaban todas las operaciones aritméticas elementales ya en 2000 antes de Cristo. Estos artefactos no siempre revelan el proceso específico utilizado para la solución de problemas, pero las características de lo particular sistema de numeración influyen fuertemente en la complejidad de los métodos. El sistema jeroglífico para Numerales egipcios, como los posteriores números romanos , descienden de marcas de conteo utilizan para el conteo. En ambos casos, este origen resultó en valores que usaron un decimal base, pero no incluyó notación posicional. Los cálculos complejos con números romanos requirieron la ayuda de una pensión o el conteo Ábaco romano para obtener los resultados.

Los primeros sistemas numéricos que incluyeron notación posicional no eran decimal, incluyendo la sexagesimal (base 60) del sistema para Numerales babilónicos y la vigesimal (20 base) sistema que define Numeración maya. Debido a este concepto de valor de posición, la capacidad de reutilizar los mismos dígitos para diferentes valores contribuyó a métodos más simples y más eficientes de cálculo.

El desarrollo histórico continuo de la aritmética moderna comienza con la Civilización helenística de la antigua Grecia, a pesar de que su origen mucho más tarde que la de Babilonia y ejemplos egipcios. Antes de las obras de Euclides alrededor de 300 aC, Estudios griegos en matemáticas se superponían con las creencias filosóficas y místicas. Por ejemplo, Nicómaco resumió el punto de vista de la anterior Enfoque de Pitágoras para números y sus relaciones entre sí, en su Introducción a la aritmética.

Numerales griegos, derivados del sistema egipcio hierático, también carecían de notación posicional, y por lo tanto imponen la misma complejidad de las operaciones básicas de la aritmética. Por ejemplo, el antiguo matemático Arquímedes dedicó toda su obra El contador de arena sólo para la elaboración de una notación para un cierto número entero grande.

El desarrollo gradual de Numerales indo-arábigos idearon independientemente el concepto de valor posicional y notación posicional, que combina los métodos más simples para los cálculos con una base decimal y el uso de un dígito que representa cero . Esto permitió que el sistema para representar consistentemente enteros, tanto grandes como pequeños. Este enfoque eventualmente reemplazado todos los demás sistemas. A principios del sexto siglo dC, el matemático indio Aryabhata incorpora una versión existente de este sistema en su obra, y experimentó con diferentes notaciones. En el siglo séptimo, Brahmagupta estableció el uso del cero como un número separado y determinó los resultados para la multiplicación, división, suma y resta de cero y todos los otros números, excepto para el resultado de división por cero. Su contemporáneo, el Obispo siriaco Severus Sebokht describe la excelencia de este sistema como "... valiosos métodos de cálculo que superan descripción". Los árabes también aprendieron este nuevo método y lo llamó Hesab.

Leibniz Por escaleras Reckoner fue la primera calculadora que podrían realizar las cuatro operaciones aritméticas.

Aunque el Codex Vigilanus describe una forma temprana de los números arábigos (omitiendo cero) por 976 AD, Fibonacci fue el principal responsable de la difusión de su uso en toda Europa después de la publicación de su libro Líber Abad en 1202. A su juicio, la importancia de este "nuevo" representación de los números, que él labrado el "Método de los indios" (América Modus Indorum), tan fundamental que todos los relacionados fundamentos matemáticos, incluyendo los resultados de Pitágoras y la algoritmo que describe los métodos para realizar cálculos reales, eran "casi un error" en comparación.

En las Edades Medias , la aritmética era uno de los siete artes liberales que se enseñan en las universidades.

El florecimiento de álgebra en la medieval islámica mundo y en Renacimiento Europa era una consecuencia de la enorme simplificación de computación a través decimal notación.

Existen varios tipos de herramientas para ayudar en los cálculos numéricos. Los ejemplos incluyen reglas de cálculo (para la multiplicación, la división y la trigonometría) y nomogramas, además de la eléctrica calculadora .

Las operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas básicas son la suma, resta, multiplicación y división, aunque este tema también incluye las operaciones más avanzadas, como las manipulaciones de porcentajes , raíces cuadradas , exponenciación y funciones logarítmicas . Aritmética se realiza de acuerdo a una orden de las operaciones. Sobre la cual las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por cero) se puede realizar cualquier conjunto de objetos, y donde estas cuatro operaciones obedecen a las leyes usuales, se denomina campo.

Suma (+)

Además es el funcionamiento básico de la aritmética. En su forma más simple, además combina dos números, los sumandos o términos, en un solo número, la suma de los números.

Adición de más de dos números se puede ver como una suma repetida; Este procedimiento se conoce como sumatorio e incluye formas de añadir un número infinito de números en una serie infinita; Además repetido del número uno es la forma más básica de contando.

La adición es conmutativa y asociativa por lo que el orden de los términos se añaden en no importa. La elemento neutro de la suma (la identidad aditiva) es 0, es decir, la adición de 0 a cualquier número que los rendimientos mismo número. Además, el elemento inverso de adición (la inverso aditivo) es el opuesto de cualquier número, es decir, sumar el opuesto de cualquier número a la misma se obtiene el número de identidad aditiva, 0. Por ejemplo, el opuesto de 7 -7 es, por lo 7 + (-7) = 0 .

Además se puede dar geométricamente como en el siguiente ejemplo:

Si tenemos dos palos de longitudes de 2 y 5, a continuación, si colocamos los palos uno después del otro, la longitud de la barra así formada es 2 + 5 = 7.

Resta (-)

La resta es lo contrario de adición. Resta busca la diferencia entre dos números, el minuendo menos el sustraendo. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, la diferencia es positiva; si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia es negativa; si son iguales, la diferencia es cero.

La resta es ni conmutativa ni asociativa. Por esa razón, a menudo es útil observar resta como adición del minuendo y el opuesto del sustraendo, es decir a - b = a + (- b). Cuando se escribe como una suma, todas las propiedades de retención de adición.

Hay varios métodos para el cálculo de los resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos para el cálculo de la máquina. Por ejemplo, los ordenadores digitales emplean el método de complemento a dos. De gran importancia es el método de recuento por el que se hace el cambio. Supongamos que una cantidad P se da para pagar la cantidad requerida Q, con P mayor que Q. En lugar de realizar la resta P - Q y contando esa cantidad en cambio, el dinero se contó a partir de Q y continuando hasta llegar a P. Aunque la cantidad contada salida debe ser igual al resultado de la resta P - Q, la resta nunca fue realmente hecho y el valor de P - Q podría seguir siendo desconocida para el cambio de decisiones.

Multiplicación (x o · o *)

La multiplicación es la segunda operación básica de la aritmética. Multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto. Los dos números originales son llamados el multiplicador y el multiplicando, a veces ambos simplemente llamadas factores.

La multiplicación se ve mejor como una operación de escalado. Si los números son imaginadas como tumbado en una línea, la multiplicación por un número, x decir, mayor que 1 es la misma que se extiende todo lo lejos de 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 en sí se estira hasta donde x era. Del mismo modo, la multiplicación por un número menor que 1 puede ser imaginado como apretando hacia 0. (Una vez más, de tal manera que va a 1 el multiplicando).

La multiplicación es conmutativa y asociativa; además es distributiva sobre la suma y la resta. La identidad multiplicativa es 1, es decir, multiplicando por cualquier número 1 que los rendimientos mismo número. Además, el inverso multiplicativo es el recíproco de cualquier número (excepto cero; cero es el único número sin un inverso multiplicativo), es decir, multiplicando el recíproco de cualquier número por el número en sí produce el identidad multiplicativa.

El producto de a y b se escribe como a × b o un • b. Cuando aob son expresiones no escritas simplemente con dígitos, también está escrito por simple yuxtaposición: ab. En los lenguajes de programación de computadoras y paquetes de software en el que sólo se puede utilizar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado, a menudo se escribe con un asterisco: a * b.

División (÷ o /)

División es esencialmente lo contrario de la multiplicación. División encuentra el cociente de dos números, el dividendo dividido por el divisor. Cualquier dividendo dividido por cero no está definido. Para números positivos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que uno, de otro modo es menos de un (una regla similar se aplica para los números negativos). El resultado se multiplica por el divisor siempre produce el dividendo.

División es ni conmutativa ni asociativa. Como es útil observar resta como además, es útil observar la división como la multiplicación de los tiempos de dividendos el recíproco del divisor, que es un ÷ b = a × ¹ / _b. Cuando se escribe como un producto, que obedece todas las propiedades de la multiplicación.

Aritmética decimal

Representación decimal se refiere exclusivamente, de uso común, a la escrita sistema de numeración empleando números arábigos como los dígitos de un radix 10 ("decimal") notación posicional; sin embargo, cualquier sistema de numeración basado en potencias de 10, por ejemplo, Griego, Cirílico, romano , o Chinos números pueden conceptualmente ser descritos como "notación decimal" o "representación decimal".

Los métodos modernos de cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) fueron ideados por primera vez por Brahmagupta de la India. Esto fue conocido durante la Europa medieval como "Modus Indoram" o el método de los indios. Notación posicional (también conocido como "de valor de notación") se refiere a la representación o la codificación de números utilizando el mismo símbolo para los diferentes órdenes de magnitud (por ejemplo, los "lugar", "decenas lugar", "centenas") y, con una punto de base, utilizando los mismos símbolos para representar fracciones (por ejemplo, el "décimas lugar", "centésimas lugar"). Por ejemplo, 507,36 denota 5 cientos (10 ^2), además de decenas 0 (10 ^1), además de 7 unidades (10 ^0), además de 3 décimas (10 ^-1) más 6/100 (10 ^-2).

Zero como un número comparable a los otros dígitos básicos es un concepto que es esencial para esta notación, como es el concepto de uso de cero como un marcador de posición y, como es la definición de multiplicación y adición con cero. El uso de cero como un marcador de posición y, por lo tanto, el uso de una notación posicional está atestiguada primero en el Texto Jain de la India derecho del Lokavibhâga, de fecha 458 dC y fue sólo en el siglo 13 que estos conceptos, transmiten a través de la beca del mundo árabe, se introdujeron en Europa por Fibonacci usando el Sistema de numeración hindú-árabe.

Algoritmo comprende todas las reglas para realizar cálculos aritméticos utilizando este tipo de numeración escrita. Por ejemplo, la adición produce la suma de dos números arbitrarios. El resultado se calcula mediante la adición repetida de un solo dígito de cada número que ocupa la misma posición, de proceder de derecha a izquierda. Una tabla de adición con diez filas y diez columnas muestra todos los valores posibles para cada suma. Si un individuo suma supera el valor de nueve, el resultado se representa con dos dígitos. El dígito más a la derecha es el valor para la posición actual, y el resultado de la posterior adición de los dígitos a la izquierda aumenta por el valor del segundo dígito (más a la izquierda), que es siempre uno. Este ajuste se denomina un acarreo del valor uno.

El proceso para la multiplicación de dos números arbitrarios es similar al proceso de adición. Una tabla de multiplicar con diez filas y diez columnas muestra los resultados para cada par de dígitos. Si un producto individual de un par de dígitos excede nueve, el ajuste de transporte aumenta el resultado de cualquier multiplicación posterior de dígitos a la izquierda por un valor igual a la segunda (a la izquierda) dígitos, que es cualquier valor de uno a ocho (9 × 9 = 81). Los pasos adicionales definen el resultado final.

Existen técnicas similares para la resta y la división.

La creación de un proceso correcto para la multiplicación se basa en la relación entre los valores de dígitos adyacentes. El valor de un solo dígito en un número depende de su posición. Además, cada posición a la izquierda representa un valor diez veces mayor que la posición a la derecha. En términos matemáticos, el exponente para la radix (base) de diez aumentos por uno (a la izquierda) o disminuye en uno (a la derecha). Por lo tanto, el valor de cualquier dígito arbitraria se multiplica por un valor de la forma ¹⁰ⁿ con número entero n. La lista de valores correspondiente a todas las posiciones posibles de un solo dígito se escribe como {..., 10 ^2, 10, 1, 10 ^-1, 10 ^-2, ...}.

Multiplicación repetida de cualquier valor en esta lista por diez produce otro valor en la lista. En terminología matemática, esta característica se define como cierre, y la lista anterior se describe como cerrado bajo la multiplicación. Es la base para encontrar correctamente los resultados de la multiplicación usando la técnica anterior. Este resultado es un ejemplo de los usos de la teoría de números .

Compuesto unidad aritmética

Compuesto unidad aritmética es la aplicación de las operaciones aritméticas para cantidades por residuos mixtos, como pies y pulgadas, galones y pintas, libras chelines y peniques, y así sucesivamente. Antes de la utilización de sistemas basados en decimales de dinero y unidades de medida, el uso de la unidad aritmética compuesto formado una parte significativa del comercio y la industria.

Operaciones aritméticas básicas

Las técnicas utilizadas para la unidad compuesta aritmética se desarrolló durante muchos siglos y están bien documentados en muchos libros de texto en muchos idiomas diferentes. Además de las funciones aritméticas básicas encontradas en la aritmética decimal, unidad aritmética compuesto emplea tres funciones más:

• Reducción donde una cantidad compuesto se reduce a una sola cantidad, por ejemplo conversión de una distancia expresada en metros, pies y pulgadas a uno expresa en pulgadas.
• Expansión, la función inversa a la reducción, es la conversión de una cantidad que se expresa como una sola unidad de medida a una unidad de compuesto, tal como la expansión de 24 oz a 1 libra, 8 oz
• Normalización es la conversión de un conjunto de unidades de compuesto a una forma estándar - por ejemplo, la reescritura de "1 ft 13 en" como "2 ft 1 in".

El conocimiento de la relación entre las distintas unidades de medida, sus múltiplos y sus submúltiplos forma parte esencial de la unidad compuesta aritmética.

Principios de la unidad compuesta aritmética

Hay dos enfoques básicos en el Compuesto unidad aritmética:

• Método de reducción-ampliación, donde todas las variables unitarios compuesto se reducen a las variables de una sola unidad, el cálculo realizado y el resultado se expandió de nuevo a unidades compuestas. Este enfoque adecuado para cálculos automáticos. Un ejemplo típico es el manejo de tiempo por Microsoft Excel donde todos los intervalos de tiempo se procesan internamente como días y fracciones decimales de un día.
• En marcha método de normalización en el que cada unidad se trata por separado y el problema se normaliza continuamente a medida que se desarrolla la solución. Este enfoque, que es ampliamente descrito en los textos clásicos, es el más adecuado para los cálculos manuales. Un ejemplo del método de normalización en curso tal como se aplica a la adición se muestra a continuación.

La operación de adición se lleva a cabo de derecha a izquierda; en este caso, peniques se procesan primero, entonces chelines seguido por libra. Los números debajo de la "línea de respuesta" son resultados intermedios.

El total de la columna peniques es 25. Puesto que hay 12 peniques en un chelín, el número 24 se divide por 12 para dar 2 con un resto de 1. El valor "1" se escribe en la fila de respuesta y el valor " 2 "llevado adelante a la columna de chelines. Esta operación se repite utilizando los valores de la columna de la chelines, con el paso adicional de agregar el valor que se llevó adelante de la columna de monedas de un centavo. El total intermedio se divide por 20 en lugar de 12, ya que hay 20 chelines en una libra. La columna libras es procesada, sino como libra son la unidad más grande que se está considerando, sin valores se llevan adelante desde la columna de la libra.

Cabe señalar que, en aras de la simplicidad, el ejemplo elegido no tener farthings.

Las operaciones en la práctica

A escala calibrada en unidades imperiales con una pantalla coste asociado.

Durante los siglos 19 y 20 se desarrollaron diversas ayudas para facilitar la manipulación de unidades compuestas, particularmente en aplicaciones comerciales. Las ayudas más comunes eran cajas mecánicas que fueron adaptados en países como el Reino Unido para dar cabida a libras, chelines, peniques y cominos y "Ready Reckoners" - libros dirigidos a los comerciantes que catalogan los resultados de diversos cálculos de rutina como los porcentajes o múltiplos de diversas sumas de dinero. Un folleto típico que corrió 150 páginas tabulada múltiplos "uno hasta diez mil en los diferentes precios de un céntimo a una libra".

La lentitud de la unidad compuesta aritmética ha sido reconocido por muchos años - en 1586, el matemático flamenco Simon Stevin publicó un pequeño folleto titulado De Thiende ("la décima") en el que declaró que la introducción universal de decimales de acuñación, medidas y pesos para ser simplemente una cuestión de tiempo, mientras que en la era moderna, muchos programas de conversión, como que incrustado en la calculadora suministrado como parte estándar de las unidades compuestas pantalla del sistema operativo Microsoft Windows 7 en un formato decimal reducida en lugar de utilizar un formato ampliado (es decir, "2,5 pies" se muestra en lugar de "2 ft 6 in").

Teoría de los números

El término aritmética también se refiere a la teoría de números. Esto incluye las propiedades de los números enteros relacionados con primality , divisibilidad , y el solución de ecuaciones en números enteros, así como la investigación moderna que es el resultado de este estudio. Es en este contexto que se corre a través del teorema fundamental de la aritmética y funciones aritméticas. Un Curso de Aritmética por Jean-Pierre Serre refleja este uso, al igual que las frases tales como la aritmética de primer orden o de la geometría algebraica aritmética. La teoría de números también se conoce como la media aritmética superior, como en el título de El libro de Harold Davenport sobre el tema.

Aritmética en la educación

La educación primaria en matemáticas a menudo pone un fuerte énfasis en los algoritmos de la aritmética de los números naturales , enteros , fracciones y decimales (utilizando el sistema de valor decimal). Este estudio se conoce a veces como algoritmo.

La dificultad y la apariencia sin motivación de estos algoritmos ha llevado mucho tiempo los educadores a cuestionar este plan de estudios, abogando por la enseñanza precoz de las ideas matemáticas más centrales e intuitivas. Un movimiento notable en este sentido fue la Nueva Matemáticas de los años 1960 y 1970, que trató de enseñar aritmética en el espíritu de desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, un eco de la tendencia predominante en las matemáticas superiores.